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Abschnitt XX VII.

und setze die Koeffizienten AI, N, /', Q, 11 für sieh gleich Null. Soerhält man fünf Gleichungen, die mit der gegebenen Differentialglei-chung zusammen bestehen müssen. Durch Elimination der drei par-tiellen Differentialquotienten 2. Ordnung erhält man simultane Glei-chungen in x, y, z, ^ und ; ein gemeinschaftlicher Faktor der-selben ist als singuläres Integral aufzufassen; der Spezialfall Q = 0,11 = 0 ist wie bei der Gleichung 1. Ordnung von besonderem In-teresse.

Lagrange charakterisiert den Unterschied zwischen seinen undden Arbeiten seiner Vorgänger mit den Worten 1 ): „Ich habe zuerstdie wahren Prinzipien dieser Theorie gegeben. Man hat Regeln mehroder weniger allgemeiner Art aufgefunden, ein gegebenes Integral vonvornherein als singuläres oder partikuläres zu erkennen, auch für dieAuffindung der singulären Integrale sind Regeln entdeckt worden.Aber niemand hat meines Wissens den Ursprung dieser Integrale ent-wickelt.“ Das berechtigte Selbstbewußtsein, den freudigen Stolz dieserWorte wird wohl jeder nachfühlen, der Gelegenheit hat, den Ent-wicklungsgang der Theorie aus den Originalarbeiten selbst kennen zulernen.

Legendre kommt zu seinen Resultaten durch Benutzung desPrinzips, daß das singuläre Integral immer weniger willkürliche Kon-stanten enthält als das vollständige; er stellt diese Eigenschaft alsFundamentalsatz an die Spitze seiner Abhandlung. Von diesem Theo-rem aus gelangt er folgendermaßen zur Bestimmung der singulärenIntegrale aus der Differentialgleichung 2 ); sei ein Wert von ;/, welcherder Gleichung genügt, bekannt, ein benachbarter Wert // + dy ge-sucht. Zu diesem Zweck variiere man, sagt Legendre , in der ge-gebenen Gleichung von der Ordnung n bei konstantem x die Größen

fl, , . . . und man wird wegen der Relationen

ddf/ = dd fi. d'ddy = dddfi usw.

eine lineare Gleichung der Form

A

d" d fl ,,d" 1 <) 1 /dx" d.x'-'

+ ■ ■ • + Tdfi = 0

erhalten, die als Differentialgleichung für dy aufgefaßt werden kann.Nun läßt sich aber die Form dieser Größe dy aus der Integralglei-chung erschließen; differentiiert man diese nämlich, indem man die

*) Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 585.Sciences 1790 0797), p. 222.

s ) Histoire de l'Academie des