Totale und partielle Differentialgleichungen.

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Integrationskonstanten a, b, c, . . . variieren läßt, so ergibt sich eineBeziehung:

dy

dtp dtp .,, dtp ..

A da + ydb + , de 4- •da du de

Diese Gleichung ist aber nach Legendres Auffassung das Integralder vorerwähnten linearen Differentialgleichung für <D/; die Größenda, Öb, de, .. . sind hierbei die Integrationskonstanten. Wennnun y ein vollständiges Integral ist, wird die Zahl der Größen a, b, c,...gleich n sein, d y enthält demnach ebenfalls n Integrationskonstanten,und die Differentialgleichung für dy wird « ,er Ordnung. In diesem

Jt ß

Falle kann der Koeffizient A von - niemals Null sein. Im Fall

dx n

des singulären Integrals hingegen enthält y und damit dy höchstensn — 1 Konstante, die Differentialgleichung für dy wird deshalb höch-stens (n — l) ter Ordnung; es muß also jedenfalls A = 0 sein, wobeiaußerdem auch die Relationen B = 0, C — 0, ... bestehen können.So liefert die Differentialgleichung

O O

f d d £ + 2xy*i + b*-y* = (),

dx

indem man y und variiert,•' dx ’

Setzt man den Koeffizienten von d ^ gleich Null, so kommt y — 0und y'^~- f-# = 0. Letztere Gleichung gibt im Verein mit der vor-gegebenen das singuläre Integral ;/ 2 + x 2 — Ir = 0.

Aus einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung 1 ) erhält

man durch Variation von z, ’l*, -l— nach Unterdrückung der Nenner

’ dx’ dy °

eine Relation der Form

.Id '!* + Bä~ + Cde = 0,

dx dy ’

die als partielle Gleichung für dz aufgefaßt werden kann. Soll siealso ein singuläres Integral liefern, so müssen gleichzeitig A = 0 undB = 0 sein, da eine gegenteilige Annahme eine willkürliche Funktionin den Ausdruck für dz einführen würde. Bei partiellen Gleichungen2. Ordnung kann das singuläre Integral höchstens eine einzige will-kürliche Funktion besitzen, die partielle Gleichung für dz daherhöchstens 1. Ordnung sein. Variiert man daher in der gegebenenDifferentialgleichung die Größen

') Histoire de l'Academie des Sciences 1790 (1797;, p. 230.