Abschnitt XXVII

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so müssen im Falle eines singulären Integrals außer der gegebenenGleichung noch drei Relationen bestehen, die man durch Nullsetzen derKoeffizienten von

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erhält.

Wir sahen im vorhergehenden — bei der Konstruktion willkür-licher Funktionen unter gegebenen Anfangsbedingungen durch Mongesowie bei der Theorie der singulären Integrale — wiederholt geometrische Vorstellungen zur Aufhellung der Theorie herangezogen.Man muß sich aber hüten, den Einfluß solcher Hilfsmittel auf dieEntwicklung dieser Theorie zu überschätzen, zumal es sich um einevorwiegend analytische Epoche der Mathematikgeschichte handelt.Monge kommt rückwärts von geometrischen Problemen aus zu seinenDifferentialgleichungen und gewinnt durch Übersetzung erprobter Ver-fahren und Überlegungen geometrischer Natur in die Sprache derAnalysis viele seiner rechnerischen Methoden; aber es ist ihm nichtumgekehrt darum zu tun, eine eigentliche geometrische Theorie derDifferentialgleichungen und ihrer Integrale zu entwickeln, d. h. eineTheorie, welche in konsequenter Weise analytische Operationen durchgeometrische Konstruktionen ersetzt. Und wenn es auch manchmalden Anschein hat, daß er Differentialgleichungen durch geometrischeÜberlegungen löst, so darf man doch sicher sein, daß er in allendiesen Fallen das Resultat schon vorher besessen und die betreffendeDifferentialgleichung erst nachträglich aufgestellt hat. Es finden sichdemgemäß bei Monge Stellen genug, welche die geometrische Be-deutung gewisser Gleichungen anschaulich und klar machen, und die,zusammengetragen, eine geometrische Theorie der Differentialglei-chungen liefern würden, aber Monge scheint selbst nicht an einesolche Zusammenstellung zu denken. Die bedeutendsten Überlegungendieser Art vor dem Erscheinen der „Application de l’analyse ä lageometrie“ sind auf S. 561 ff. und S. 1097ff. dargestellt. SchwierigereProbleme dieser Art, wie wir sie heutzutage behandeln, so die Fragenach der Gestalt der durch eine Differentialgleichung definiertenKurven, oder die Untersuchung einzelner Punkte und ihrer Umgebungwerden naturgemäß überhaupt gar nicht aufgeworfen.

Wir wenden uns im folgenden zu den allgemeinen Methoden,welche dem Charakter des jeweiligen Problems angepaßt in veränderterForm auf die verschiedensten Gattungen von DifferentialgleichungenAnwendung finden. Dabei ist auch einiger Versuche zu gedenken,einen unbedingt gangbaren Weg zu finden, auf dem sich alle Diffe-

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