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Abschnitt XXVII.

dere, allgemeinere Methode. Er weist ferner 1 ) aut die Unmöglichkeithin, bestimmte Prinzipien für die Auffindung von Substitutionen, dieauf integrable Gleichungen führen, anzugeben, sowie auf das Versagender Separationsmethode bei Differentialgleichungen höherer Ordnung.Die Auffindung von Substitutionen, welche Trennung der Variabeinermöglichen, erfordert, wie er sagt 8 ), nicht weniger Scharfsinn als dieIntegration selbst.

Wenn auch im allgemeinen bei einer beliebig gegebenen Diffe-rentialgleichung jene Transformationen, welche eine Integration, seies durch vorgeschriebene Transzendenten, ermöglichen, nicht angegebenwerden können, weil die Angabe dieser Transformationen mit der In-tegration der Gleichung selbst identisch wäre, so sind es doch Traus-formationsverfahren, welche, selbst wenn sie nicht auf integrableTypen führten, immer noch die theoretisch bedeutendsten Resultatezeitigten. Viele Methoden der Ordnungserniedrigung, die Euler seheund die Laplacesche Theorie der partiellen Differentialgleichungen2. Ordnung, die Theorie der Eulersehen homogenen partiellen Diffe-rentialgleichung, in gewissem Sinne auch die Methode der Variation derKonstanten beruhen auf solchen Verfahren. Schließlich dürfen Trans-formationen höherer Ordnung nicht unerwähnt bleiben, welche auchDifferentialquotienten enthalten; es sei nur an die d’AlembertscheGleichung 3 ) erinnert.

Die eben erwähnte Methode der Ordnungserniedrigung istim Grunde genommen die vorbildliche klassische Integrations-methode für alle Differentialgleichungen höherer Ordnung und be-liebigen Grades. Man hat entweder mit Hilfe von passenden Sub-stitutionen oder mit Benutzung eines Multiplikators ein erstes Integralzu finden, das dann ebenso weiter behandelt wird. Dieser allgemeineGedankengang liegt den meisten speziellen Integrationsmethoden zu-grunde, und besonders Euler hat versucht ihn brauchbar zu machen;freilich ist seine Durchführung in der Praxis im allgemeinen nichtmöglich. Aber man hat in Verfolgung dieser Idee wenigstens eineReihe von allgemeinen Gleichungstypen gefunden, auf die sie mitErfolg angewendet werden kann. Auf Ordnungserniedrigung durchSubstitution beruhen die Theorie gewisser zuerst von Monge be-handelter partieller Gleichungen beliebiger Ordnung (vgl. S. 1019), dieTheorie des Zusammenhangs zwischen homogener linearer Gleichung2. Ordnung und Riccatischer Gleichung, die Reduktion der totalenDifferentialgleichung 2. Ordnung, welche die unabhängige Variable

*) Institutiones calculi integralis, vol. I, p. ‘290. s ) Ebenda, vol. III, p. 600.») Vgl. diese Vorl., IIP, S. 897.