Totale und partielle Differentialgleichungen.

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nicht explizite enthält 1 ), die Verwandlung von Differentialgleichungenhöherer Ordnung in ein Simultansystem von Gleichungen 1. Ord-nung. So führt z. B. Euler 2 ) die Gleichung beliebiger Ordnung

ly + B

durch die Substitutionen

dy = pdx ; dp = qdx; . . .

in ein System linearer Gleichungen 1. Ordnung über, ohne gerade be

sonderen Nachdruck auf die Bedeutung dieses Schrittes zu legen.

Hier sei noch folgende originelle Methode von Lag ränge füreine spezielle Gleichung erwähnt 3 ): Ist

0 = fonct •(*,/>, qx, rx 2 , . . .) ,

wo

so ergibt sich mittels der Substitutionen

dx du

— = u und

x

x

der Reihe nach:

t ■ d (u + t)

t ■ d(u -)- t)

ti + t, qx

Setzt man diese Ausdrücke in die ursprüngliche Gleichung ein, soist die Ordnung um 1 Grad erniedrigt.

Im Anschluß an die Verwertung der Transformationen überhauptsei noch auf das Auftreten von Berührungstransformationen beiMonge hingewiesen (vgl. S. 980ff.').

Wie schon erwähnt hat Euler die Anwendung von Multipli-katoren zwecks Ordnungserniedrigung der Integration durch Sub-stitution vorgezogen und sich deshalb eingehend mit der Theorieder Multiplikatoren als der „wahren und natürlichen Quelle allerIntegrationen“ 4 ) beschäftigt. Er geht dabei auf zwei gänzlich ver-

*) Die Reduktion gelingt, wenn man den 1. Ditterentialquotienten der ab-hängigen Veränderlichen als neue Variable einführt; x und y ergeben sichdann als Funktionen dieser Variablen in Parameterdarstellung. Siehe Inatitu-tiones calculi integralis, vol. II, p. 40. *) Ebenda, vol. II, p. 373. Diese Re-

duktion, nach einer gütigen Mitteilung von Herrn Prof. v. Braunmühl schonbei d’Alembert , Histoire de l’Academie de Berlin, t. IV, 1748 (1760), p. 289.*) Miscellanea Taurinensia, t. IV 8 , p. 342. 4 ) Institutiones calculi integralis,

vol. I, p. 314.

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