902

Abschnitt XXVII.

schiedenen Wegen vor; einmal sucht er Gleichungen, welche einenMultiplikator von gegebener Form besitzen, das andere Mal sucht erzu gegebenen Differentialgleichungen einen integrierenden Faktor zufinden. Das erste, leichtere Problem ist in der Integralrechnungausführlich behandelt. 1 ). Euler nimmt dabei die Form der Diffe-rentialgleichungen bis auf gewisse unbestimmte Funktionen schon vonvornherein an, wozu natürlich viel Geschick und mathematischer Blickgehören, damit die Aufgabe lösbar wird. Die Bestimmung der un-bestimmt gelassenen Funktionen erfolgt natürlich mit Zuhilfenahmeder Integrabilitätsbedingungen; die Resultate sind aber viel zu speziell,zu wenig interessant und übersichtlich, als daß wir darauf eingehenkönnten.

Auch Trembley sucht DifferentialgleichungenIldx + Sd>/ = 0,

die durch einen gegebenen Multiplikator M integrabel werden. Ausder Bedingung

- *c)+(

folgt vermöge 1{ = — S ^ die Gleichung

d. h.

Auf diese Gleichung gründet Trembley seine Rechnung; ihreEinzelheiten müssen hier übergangen w’erden; sie bietet, sagtTrembley 8 ), keinerlei Schwierigkeiten als ihre Länge. Und daranist ihm, wie wir noch sehen werden, gar nichts gelegen. Schwie-riger ist die Aufgabe, zu einer gegebenen Differentialgleichungeinen integrierenden Faktor zu finden: so verlangt Euler 8 ), die Glei-chung =0, die zunächst das Integral in transzendenter

yx yr

Form liefert, mit Hilfe eines geeigneten Multiplikators unmittelbarin algebraischer Form zu integrieren. Für Gleichungen « ter Ordnungverwendet Euler einen Multiplikator, welcher die Differentialquotientenbis zum (n — l) ten einschließlich enthält. So versucht 4 ) er z. B. fürdie Gleichung

') Institutiones calculi integralis, vol. I, p. 351 ff. *) Nouveaux Memoiresde l’Academie de Berlin 1790/91 v 1796), p. 328. *) Institutiones calculi inte-

gralis, vol. III, p. 603tf. 4 ) Ebenda, vol. II, p. 153.