Totale und partielle Differentialgleichungen.

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jj. , Aydx* A

aa 'J + IiyyJ r .C+ -1I)X+ KxxY ~ U

einen Multiplikator der Form

2Pdy + 2 Qydx,

wo P und Q Funktionen von x sein sollen, und zwar verlangt erdas Integral in der Form

Pdy 2 + 2 Qydxdy + Vdx = Const. dx 2 ,

wo V eine Funktion von x und y sein soll. Durch Anwendung derIntegrabilitätsbedingungen erhält er schließlich den Multiplikator

2 dy (C + 2 Dx + Exx) — 2 ydx(D -f Ex).

Besondere Eleganz und Übersichtlichkeit ist bei dieser Rechnungallerdings nicht zu linden; Euler benutzt die Formel, um aus ihrSpezialfälle abzu leiten. Für die Gleichung

yyddy -f- ydy 2 -)- Axdx 2 = 0

wird, wie Euler sagt 1 ), vergeblich der Versuch mit einem Multipli-kator der Form

Ldy + 31dx

gemacht; möge also, fährt er fort, der Versuch mit der Form3 Ldy 2 + 2Mdxdy 4- Ndx 2

und dem Integral

Ly ydy 2 + Myydxdy 2 + Nyydx 2 dy + Vdx 3 = Cdx sgemacht werden. Es ergibt sich

L = y, 31= 0, X=3Ax

mit

V = — Ay 3 + AAx 2

als eine brauchbare Lösung. Die folgende Behandlung dieses Bei-spiels, wobei von der Substitution = z Gebrauch gemacht wird,

ist nicht uninteressant. Übrigens sind wir auf diese Beispiele nureingegangen, weil sie zeigen, welcher Art die Differentialgleichungensind, an die sich Euler wagt. Daß er schon früher einfachere Beispiele behandelt hat 2 ), wird niemand wundern.

Für die Theorie der Multiplikatoren von Differentialgleichungen

*) Institutionea calculi integralis, vol. II, p. 162. *) Novi Commentarii

Academiae Petropolitanae, t. VII, 1768/59 (1761), p. 163 ff.