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Abschnitt XXVII.
höherer Ordnung wird ein Integrabilitätskriterium von höchsterWichtigkeit, das Euler bei seinen Untersuchungen über die Variations-rechnung nebenbei gefunden hat. Er fragt nach der Bedingung dafür,
daß j Zdx ein Maximum oder Minimum werde und findet, wie schonfrüher ‘), dafür die Gleichung
0 = N —
dP d*Ldx ' dx-
+ • • ••
wo
und
(IZ = JMdx + Ndy + Pdp -f- Qdq -fP
dy
d x'
dp
<! = ~1 dx
Am Schluß der betreffenden Abhandlung endlich erwähnt er 2 ) ganzkurz und ohne Beweis, daß die identische Erfüllung jener Maxi-malbedingung die Integrabilität von Zdx zur Folge habe. DieseBemerkung blieb anscheinend unbeachtet; wenigstens knüpft Lexell,der sich eingehend mit diesem Kriterium beschäftigt hat (vgl. unten),erst an Eulers Integralrechnung an, deren 3. Band in einem Anhangüber Variationsrechnung den genannten Satz wieder enthält. Maubeachte, daß Euler nicht von vornherein nach einem Integrabilitäts-kriterium für Zdx, wo Z Differentialquotienten beliebig hoher Ord-nung enthält, gesucht bat; vielmehr ist er von ganz anderen Pro-blemen aus zu jener Gleichung gelangt, nach deren tieferer Bedeutunger sich nachträglich gefragt hat. Euler verwendet seinen Satz zurAuffindung integrabler Zdx. So geht er einmal 3 ) von dem Ausdruck
(xdx + ydy) {dydcx — dxdcy)
(dx* -f- 3i/*)-
aus, der ein Integral
ycx — xcyV(3.r ! + ? y*)
besitzt und fragt nach ähnlichen integrablen Fällen. Er gibt dabeidem zu integrierenden Ausdruck von vornherein schon eine bestimmteForm und sucht die darin unbestimmt gelassenen Funktionen so zubestimmen, daß sie die Integrabilitätsbedingung erfüllen, ganz ähnlichwie er früher Differentialgleichungen suchte, die einen Multiplikatorvon gegebener Form zulassen.
O ö
') Vgl. diese Vorl., III ! , S. 863. *) Novi Commentarii Academiae Petro-
politanae, t. X, 1764 (1766), p. 134. 5 ) Xova Acta Academiae Petropolitanae,
t. XI, 1793 (1798), p. 3. Zu diesem Aufsatz steht ein anderer Artikel von Euler aus dem Jahre 1777 in Beziehung: Ebenda, t. IX, 1791 (1795), p. 81 tf.