Totale und partielle Differentialgleichungen.

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Fraoe nach der Integrabilität von Ausdrücken mit 2 Variabel»; erkommt auf ziemlich mühsamen Wegen zu derselben Gleichung 1 ).Am eingehendsten hat sichLexell mit dieser Frage beschäftigt. Zu-nächst verlangt er 2 ) einen von den Prinzipien der Variationsrechnungfreien, rein analytischen Beweis des Eulerschen Kriteriums. Sei alsoV eine Funktion von x, y,p, q, r, . . . und

dy = pdx ; dp = qdx; dq = rdx] . . dt = udx,und sei weiterhin

dV = Mdx + Ndy ■+ Pdp + Qdq + • ■ • -j- üdu.Nun kann man, sagt Lexell, jedenfalls setzen:

Vdx = ydx + vdy + je dp + ■■■ + t dt

und demzufolge

1' = u -f- vp + %q + • • • +r u:

hieraus gewinnt man

d V = dp + pdv + qdn + • ■ ■ + udr+ vdp + xdq -)-•■• + xdu.

Vergleicht man diese Form mit der ursprünglichen, so ergebensieh die Gleichungen:

03+*G3+»GD

© + ' , (jj) + «G») +

Bei allen Differentiationen sind dabei x, y, p, . . . u, wie vollständigvoneinander unabhängige Variable zu behandeln, so daß also z. B.

und ähnliche Ausdrücke Null zu setzen sind. Soll jetzt Vdx ein

.1 dx]

exaktes Differential sein, so müssen Gleichungen bestehen, wie

') Condorcet, Du calcul integral. Paris 1765. Au Stelle dieses Werkes,das mir leider nicht zur Verfügung stand, benutzte ich die eingehende zeit-genössische Besprechung durch Pietro Ferroni in den Memorie di Mat. e Fis.

Soc. It., tomo V, 1790, p. 130 ff. s ) Novi Commentarii Academiae Petropoli-tanae, t. XV, 1770 (1771), p. 128.