Totale und partielle Differentialgleichungen.

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(m)

Xdy 4- du I Ndx = (pXdx + dp j Xdxj

- (dp J Xdx + dqJXdx) + ■■■

(m — 1 ) («0

+ (dtfXdx + du fXdx )

( 2 ) ("0

= d ■ p f‘xdx — d ■ q I Xdx + • - • + d ■ u f Xdx.

( 2 )

Ebenso ist

('«-1) j (2) (m-1)

Pdp + du f Pdx = d ■ q f Pdx — d' ■ r j Pdx + • • ■ + d ■ u f Pdx

(2) (fm-1)

= d [</ / Pdx — r I Pdx -(-••■ + « / Pdx J

usw.

Durch Benutzung dieser Gleichungen folgt unmittelbar

d V = Mdx + Xdi/ + Pdp + ■ • • + Tdt

("0 _ (»4 — 1) (m-i)

4 du (fXdx - fPdx +jQdx+---+fTdx).

Da aber nach Voraussetzung:

O

so folgt

d V = Mdx + Xdy + Pdp 4 • • • + Udu ,

(m) (m-1)

U = + J^Xdx + ( Pdx + ■ • ■ 4 / Tdx.

Hieraus endlich gewinnt man durch wiederholte Differentiationund Umstellung als notwendige Bedingung für die Integrabilität vonVdx die Gleichung

dP ddQdx ' dx *

= 0*);

Im folgenden sucht Lexell ähnliche Kriterien für den Fall dreierVariabeln x, y, z 2 )] in einer späteren Abhandlung kommt er nochmalsauf das Problem zurück und rechnet 3 ) auch ein praktisches Beispieldurch, des weiteren kommt er auf die wichtige Frage eines Multi-plikators für nichtintegrable Vdx zu sprechen. Wegen einer An-wendung dieser Untersuchungen vgl. S. 1032.

*) Wir sind gegen Schluß unwesentlich von der etwas unübersichtlichenDarstellung des Originals abgewichen. *) Novi Commentarii Academiae

Petropolitanae, t. XV, 1770 0771), p. 193. *) Ebenda, t. XVI, 1771 0772),

p. 189.