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Abschnitt XXVII.

Wir haben diese Fragen im Anschluß an die Theorie des inte-grierenden Faktors gebracht; in dieser Hinsicht ist noch einiges zusagen. Schon Condorcet beschäftigt sich mit dem Zusammenhangzwischen Integral und Multiplikator 1 )- Euler zeigt 2 ), daß jederMultiplikator M von Pdx -f- Qdy = 0 ein partikuläres Integral AZ = 0liefert, sofern nicht einer der Koeffizienten P oder Q dadurch unend-lich wird; analoges gilt von einem integrierenden Divisor. An andererStelle hat er den leicht beweisbaren Satz 3 ): Ist L ein Multiplikatorvon Pdx -f Qdy, so ist auch L ■ d> (Z) ein solcher, wo <l> eine will-kürliche Funktion bedeutet, und Z sich aus dZ = LiPdx + Qdy)bestimmt. Dieser Satz ist nur eine andere Form des bekannteren,daß der Quotient zweier Multiplikatoren, einer Konstanten gleichgesetzt,das vollständige Integral der Differentialgleichung gibt. Der Zusammen-hang zwischen Partikulärintegral und Multiplikator hat für Tremblevgroßen Reiz; seine Absicht ist, aus einem bekannten partikulären odersingulären Integral einen Multiplikator herzuleiten und mit diesemdas vollständige Integral zu ermitteln. Er braucht also vor allemein Integral, das er sich mit Hilfe unbestimmter Koeffizienten fol-gendermaßen zu verschaffen sucht. 1 ) Ist die gegebene Differentialgleichung , + 17=0, so bildet er zunächst den Ausdruck

n o ( ] x i

d U = / d U \ td l r \ dy■ /d U\ _ JT {<t U\ 5 .

dx \dx) ‘ \dy) dx \dx) \dy)'

In diesem Ausdruck, der eine Summe von Funktionen von x und ysein wird, ersetzt er die Koeffizienten der einzelnen Summanden durchBuchstaben, die er so zu bestimmen sucht, daß der ganze Ausdruck,gleich Null gesetzt, die gegebene Differentialgleichung erfüllt. Ist

z. B.

gegeben, so ist

dann findet man

dy _ ajp _ &y s

dx c cyx

by^'

c}/x

( 21 ) - <?)

bis auf die Koeffizienten gleich

*) Miscellanea Taurinensia, t. IV*, 1766/69, p. 7 ff. Nach Lagrange auchDu Calcul integral, p. 67. 2 ) Institutiones calculi integralis, vol. I, p. 414

bzw. 416. 5 ) Ebenda, vol. I, p. 329. Vgl. diese Vorl., III*, S. 883. Eine Verall-gemeinerung des im Text erwähnten Satzes bei Condorcet : Miscellanea Tauri-nensia, t. IV 2 , 1766 69, p. 14. 4 ) Nouveaux Memoires de l’Academie de Berlin

1792/93 (1798), p. 341—416. Diesem Aufsatz gebt ein Artikel ähnlichen Inhaltsin den Turiner Memoiren für 1790 voran. °) Man vergleiche die Bedingungs-gleichungen von Lagrange für das Auftreten eines singulären Integrals S. 893 oben.