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Abschnitt XXVII.

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Trembley gibt noch zahlreiche andere Beispiele, die indes zumgroßen Teil auf ganz ungeheuerliche Rechnungen führen; dann nimmter als Integralgleichung statt des einfachen 0 = 0 das komplizierteree" 0 = C, wo (i und 0 Funktionen von x und y sein sollen 1 ); ja erdehnt seine Methode auf totale Differentialgleichungen mit 3 Variabein 3 )und auf Differentialgleichungen 2. Ordnung aus 3 ). Auf das letzt-genannte Problem kommt er in einem späteren Aufsatz 4 ) zurück; errechnet hauptsächlich Beispiele, die Euler und andere schon behan-delt haben, und sucht auch Multiplikatoren zu bestimmen. Endlichgeht er auf ein interessantes Paradoxon ein; man findet, sagt er 5 ),in den Beispielen bei Euler und Waring algebraische integrierendeFaktoren, die gleich Null gesetzt, kein partikuläres Integral der ge-gebenen Differentialgleichung liefern, was der Theorie zu wider-sprechen scheint. Aber diese Gleichungen werden in Wahrheit durchExponentialfunktionen integriert, und die von den genannten Autorengefundenen Faktoren sind das Resultat der Kombination zweier ersterIntegrale, wobei sich die Exponentialfunktionen gegenseitig aufheben.Den Satz, daß ein Multiplikator M gleich Null gesetzt ein partikuläresIntegral gibt, überträgt Trembley auf Gleichungen « ter Ordnung. 6 )

Wirklichen Erfolg und praktische Bedeutung hat die Methodedes integrierenden Faktors nur in wenigen Fällen errungen; hier istin erster Linie ihre Anwendung hei der totalen linearen homogenenDifferentialgleichung w ,er Ordnung zwecks Ordnungserniedrigung zunennen 7 ); man wird hier zu der sogenannten Lagrangeschen Ad-jungierten geführt, von der an einschlägiger Stelle die Rede sein wird(vgl. S. 928). Dann ist auf die Benutzung von Multiplikatorensystemenbei Simultansystemen von Differentialgleichungen hinzuweisen; so seiz. B. an die elegante Behandlung der Differentialgleichungen der Be-wegung mit Nebenbedingungen mittels unbestimmter Multiplikatorenerinnert.

Im Gegensatz zur Methode des integrierenden Faktors war dieIntegration der Differentialgleichungen durch unendliche Reihenstets von höchster praktischer Bedeutung 8 ), sei es nun, daß man die

') Nouveaux Memoires de l’Aeademie de Berlin 1792,93 (1798), p. 386.

*) Ebenda, p. 391. s ) Ebenda, p. 397. 4 ) Ebenda, 1794/95 ;1799), p. 3—68.

6 ) Ebenda, p. 69. 6 ) Ebenda, p. 90. ^ Auch Euler behandelt die voll-

ständige lineare Differentialgleichung n trT Ordnung mit konstanten Koeffizientenmittels eines integrierenden Faktors: Inatitutiones calculi integralis, vol. II,p. 402. B ) Laplace z. B. stellt sich in der Histoire de l’Acadäinie des Sciences