Totale und partielle Differentialgleichungen.
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gesuchten Reihen direkt oder erst durch sukzessive Annäherung be-stimmte. Entwicklung nach Potenzreihen mittels der Methode derunbestimmten Koeffizienten treffen wir in Eulers Integralrechnung;besonders die Differentialgleichung 2. Ordnung ist dort eingehend be-handelt. 1 ) Wie gewöhnlich ist von einfacheren Beispielen zu solchenschwierigerer Art übergegangen. So behandelt Euler0 z. B. die Glei-chung
(hl;/ + ax" yd x 2 = 0.
Er setzt eine Reihenentwicklung mit steigenden Exponenten an:
y = Ax'- f i>V + ' , + 2 + Cx'- + 2n + i ■ ■ ■und erhält durch Einsetzen in die gegebene Differentialgleichung zu-nächst die Bedingung
l (X — 1) = 0.
Daraus folgt k = ü oder /. = 1, weshalb Euler die neue Reihe an-
y = A + ]3x” + -+ Cx 2n + i ■
4- 21a: -f 93a:" + 3 -j- ßar" + 5 +
Die Ji, C, ... und 23, (S drücken sich dann leicht durch diebeiden Integrationskonstanten A und 2t aus. Ein Ansatz mit abneh-menden Exponenten führt, wie er sagt, zu keinem Ergebnis. Imfolgenden integriert er durch Reihen die Gleichung
xx(a + bx”)d(hj -f- x(c + ex”)dxdy -+- (/' + gx n )ydx 2 = 0,
und Spezialfälle davon, weil gerade bei ihr die Rekursionsfonneinfür die Koeffizienten der Reihenentwicklung ganz besonders einfachwerden; es drückt sich nämlich jeder Koeffizient durch den unmittel-bar vorhergehenden aus. Diese Bemerkung veranlaßt Euler zur Be-handlung des Problems 3 ), alle linearen Differentialgleichungen 2. Ord-nung von der Eigenschaft aufzusuchen, daß in den zugehörigenReihenentwicklungen jeder Koeffizient sich durch die zwei unmittel-bar vorhergehenden Koeffizienten ausdrückt. Hier sei auch noch aufdas Auftreten der Zylinderfunktionen bei Euler hingewiesen; dasProblem der Schwingungen einer Membran führt ihn nämlich 4 ) aufdie Differentialodeichunor
O O
1782 (1785), p. 5 bzw. p. 81 ff. die Aufgabe, Reihenentwicklungen für gewisseIntegrale zu finden, die durch starke Konvergenz für die Praxis brauchbar sind.Vgl. o. S. 735.
') Institutiones calculi integralis, vol. II. p. 182 ff. *) Reihen mit un-
bestimmten Koeffizienten auch in Novi Commentarii Academiae Petropolitanae,t. XA*1I, 1772 (1773), p. 12‘J, und Institutiones calculi integralis, vol II, Sect. I,cap. VII, VIII, IX. *) Ebenda i,Inst. cale. int.), p. 252. 4 ) Xovi Commentarii
Academiae Petropolitanae, t. X, 1764 (,1766), p. 243.