Abschnitt XXVII

5)12

(

1 du d*u _ „

r dr + dr- = U ’

die mit der bekannten Besselschen Differentialgleichung identischist. Euler entwickelt in eine unendliche Reihe. Eine andere nichtuninteressante Reihenentwicklung für die Gleichung

d i M m dM _ . ..

dx- x dx ‘ ^

lindet sich bei Lagrange. 1 ) Für m = 0 hat man das Integral

M = A sin Ä - ,

für m = 2 aber

, r . . , / - 7 . d b in x ]/— k

M = A sin x y — k — Ax - ^ -—;

daraus läßt sich, sagt Lagrange, für m = 4, 6, . . . auf die FormM = A sin * V- k + Bx d 8in X d l~ k + Cx 2 d - 8in //~ * + ■ • •

schließen, wo A, B, . . . Funktionen von x sind. Durch Substitu-tion in die gegebene Differentialgleichung ergibt sich eine Folge vonDifferentialgleichungen zur Bestimmung von A, B, C, . . .. Lagrangefindet

A = /' + hx'

,m +• 1.

c _ (m - 2) . , (m + 4)

C -I 2 (m — 1)' T + ,l 2(m + S) X

B = — fx - hx m + i \

• IH -f 3 .

/• ( Wi — ’ 2 )

' 2-3 (m — 1) (m -— 2)

; ('» + 4) (m -f--6) m + 4 .

2-3 (>«■ + 3) ( m + 4) ’

U8W.,

wo f und h Integrationskonstanten sind, und bemerkt hierzu: ist )neine positive gerade Zahl 2, so bricht die Reihe der mit f multi-plizierten Terme ab, ist m negativ und gerade — 4, so ist die An-zahl der in h multiplizierten Terme eine endliche; mau erhält dannIntegrale in endlicher F'orm, indem man h bzw. f gleich Null setzt;für m = 0 und m — — 2 wird die Formel unbrauchbar; Lagrangemacht dann hinsichtlich der Brauchbarkeit dieser Entwicklung eineReihe von Bemerkungen; insbesondere spricht er von einer Unan-nehmlichkeit, die allen allgemeinen Integrationsformeln anhafte, daßsie nämlich in gewissen Fällen, die dann eine Sonderuntersuchungerfordern, ungiltig werden. Auch auf dem Gebiet der partiellen Diffe-rentialgleichungen hat die Entwicklung nach unendlichen Reihen oftDienste geleistet; Angaben über die Zahl der dabei auftretenden will-

*) Miseellanea Taurinensia, t. IP, J 760 61, p. 81 ff. Vgl. auch S. 930 diesesBandes.