Totale und partielle Differentialgleichungen.

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kürlichen Funktionen, die ja kleiner als die Ordnung der Differential-gleichung sein kann, haben wir nicht gefunden. So behandelt Euler 1 !die Gleichung

+ - ?/)2 {Grly) + + ■") (£) + mix + V) O

+ hz = 0 ;

er setzt das Integral in der Form©

z - A(x + yff(x) + B(x + yf +1 f'(x) + C(x + yy + i f"(x) -|-

an und drückt die Koeffizienten B, C, J), ... durch A aus. DieRekursionsformeln hierfür, die quadratische Gleichung

ii -{- diX -f- A/, — A D

mit eingeschlossen, nennt er determinationes. Bei Vertauschungvon x mit y muß man wieder ein Integral haben: daraus ergibt sich

z = A(x + y)Hf(x) + F(y)) + B(x + y) l + l (f\x ) + F'(y)) + • • •.In die Gleichung für A setzt Euler

X + m = — /

und erhält so

n = ( m + i) (m — i — 1);

durch passende Wahl von i bricht dann die Reihe von selbst ab.

Im Anschluß daran behandelt Euler die Frage, wann sich dieGleichung

Q-<KS)+ <) + *©

auf die eben integrierte Gleichung zurückführen läßt, und gewinnt so

viele Fälle integrabler Gleichungen.

© ©

Hier sei eine Aufgabe von Condorcet angefügt, der zur Lösungder Gleichung

dz dz 1+ xdy dx 1 -j- y

die unendliche Reihe

dF(x + y)

F{x + y) + P

d*-F(x + y)dx 1 '

ansetzt 2 ), wo B, Q, ... Funktionen von x und y sind. Durch Sub-stitution in die gegebene Gleichung und Nullsetzen der Koeffizienten

') Institutionen calculi integralis, vol. III, p. 260 tf. *) Histoire de l'Aca-demie des Sciences 1772 (1775\ p. 4.0.