Totale und partielle Differentialgleichungen.
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wendet werden: so beruht die eben angeführte Reihenentwicklungvon Euler auf der Kenntnis eines partikulären Integrals
* = (« + yY,
die Integration der Gleichung der Saitenschwingungen durch trigono-metrische Reihen ebenso auf der Einsicht, daß trigonometrische Funk-tionen partikuläre Lösungen sind. In interessanter Weise verwendetCondorcet die unendlichen Reihen 1 ) für Differentialgleichungen wie
dz _ mdz , ddz c*ddz
dx dy Un dx 2 dy i ’
er integriert zunächst, wobei die Koeffizienten willkürlich bleiben,und sucht sodann aus der Reihendarstellung das Integral, welcheswillkürliche Funktionen enthält, in endlicher Form zu ermitteln.Dieser Gedanke ist deshalb von Wichtigkeit, weil man mit seinerHilfe hätte schließen können, daß, wie schon D. Bernoulli behauptethatte, eine derartige Entwicklung mit unendlich vielen Integrations-konstanten unter Umständen gerade so allgemein sein kann wie dasIntegral mit willkürlichen Funktionen; man erinnere sich, daß Euler z. B. die Integration der Gleichung der Saitenschwingungen durchtrigonometrische Funktionen, die nach Vielfachen des Arguments fort-schreiten, für weniger allgemein als das sog. allgemeine Integral hielt 2 )(vgl. S. 995). Condorcets Methode besteht nun einfach darin, daßer das Integral z. B. von
dz mdzdx dy
zunächst in der Form
z = a + bx + b'y + cx~ + c xy c"y 2 + • • •ansetzt, und aus
° + 6 (* + m) + C ( X + +wo a, b, c, . . . Integrationskonstante sind, dann auf
2 = V ( x + i) + N
schließt (vgl. S. 998). Schließlich sind noch die Methoden von Cousinzu erwähnen (vgl. S. 952 ff.).
Auf Reihenentwicklungen nach bestimmten Funktionen, wie tri-gonometrischen Funktionen, Kugelfunktionen, kann hier nicht einge-
*) Histoire de l’Academie des Sciences 1769 ^1772), p. 193ff. *) Vgl.
diese Vorl., IIP, S. 906. Wegen der Entwickelbarkeit einer Funktion nach Viel-fachen des Arguments des Sinus vgl. man u. a. besonders Lagrange: Miscel-lanea Taurinensia, t. IIP, 1762/65 (1766), p. 221.
C-antor, Geschichte der Mathematik IV.
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