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Abschnitt XXVII.

g;mgen werden; wir verweisen deshalb auf den XXVI. Abschnittdieses Bandes.

Unter den Näherungs verfahren, welche nicht von vornhereingleich die ganze Reihe bis auf gewisse erst zu bestimmende Koeffi-zienten in Form der Taylorschen Reihe event. mit veränderlichenKoeffizienten ausetzen, können wir zwei Gruppen unterscheiden, solche,welche die gegebene Differentialgleichung ohne weiteres in der ge-gebenen Form benutzen und lediglich durch beständige Korrektiondas Integral zu finden suchen, und solche, welche von vornhereinsich nicht der vollständigen Differentialgleichung, sondern nur einergenäherten Form derselben bedienen, wobei natürlich die Schätzungder erreichten Genauigkeit viel schwieriger wird. Das letztgenannteVerfahren wird besonders häufig in der Astronomie geübt; unter denersten steht die Integration durch Kettenbrüche wegen ihrer Eleganzund Allgemeinheit obenan. Hierzu bemerkt Lagrange 1 ) in denBerliner Memoiren für 1776, die Methode der Integration durch un-endliche Reihen habe den Nachteil, daß rationale endliche Ausdrückeals solche nicht erkannt werden; die Kettenbruchentwicklung habedagegen alle Vorteile der Reihenentwicklung und sei von dem letzt-erwähnten Übelstand frei, da ein endlicher und rationaler Wert desbetr. Ausdrucks als Kettenbruch von seihst abhrechen wird. SeinVerfahren ist etwa folgendes: ein erster Näherungswert von y fürsehr kleine x sei £; setzt man jetzt

in die gegebene Differentialgleichung ein, so erhält man eine neueGleichung derselben Ordnung und desselben Grades zwischen x und \(.In derselben Weise sucht man jetzt für sehr kleine x einen Nähe-rungswert jj' von y, und setzt

y = r_p•

Die Größen |, 5', . . . müssen von der Form ax“ sein, und zwar muß

« (außer für die Größe § seihst) immer positiv sein. Die fortgesetzte An-wendung dieses Verfahrens liefert den gewünschten Kettenbruch; dieBestimmung von a und a bietet hierbei die einzige Schwierigkeit.Mittels dieser Methode erhält Lagrange bei Differentialgleichungen,die durch bekannte Transzendenten integrahel sind, die Kettenbruch-entwicklung von Funktionen wie log, tg, arctg, die übrigens schonEuler gegeben hatte (vgl. S. 270j.

') Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 301.