Totale und partielle Ditl'erentialgleicliungen.

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Auf die Entwicklung der übrigen Näherungsverfahren war dietheoretische Astronomie von großem Einfluß. Da die Exzentrizitätender Planetenbahnen, sowie ihre Neigungen meistens ziemlich klein

sind, nahm man seit d’Alembert die Kreisbahn als genäherte Lösung

an 1 ) und suchte diese durch Korrektionen in der Weise zu verbessern,daß man schließlich Reihen erhielt, welche nach Potenzen dieserkleinen Größen fortschritten. Die verschiedenen Methoden, derenman sich hierzu bediente, charakterisiert Condorcet 2 ), der sich selbstsehr viel mit der Integration durch Reihen beschäftigt hat 3 j: entweder setzt man, sagt er, die Unbekannte gleich einem angenähertenWert vermehrt um ein Korrektionsglied, dessen 2., 3., . . . Potenz manvernachlässigt. Diesen Ausdruck substituiert man in die ursprüng-liche Gleichung, integriert und bestimmt das Korrektionsglied ange-niihert. Mit dem so verbesserten Wert der Unbekannten wiederholtman das Verfahren. Diese Methode ist vereinfacht von d’Alembert in den Turiner Memoiren und in seinen Opuscules, auch von Euler in seiner preisgekrönten Abhandlung über die Mondbewegung von1770 benutzt. Bei der zweiten Methode vernachlässigt man nichtalle höheren Potenzen des Korrektionsgliedes. 4 ) Endlich geht Con-dorcet auf die Methoden von Lagrange und d’Alembert desnäheren ein. Von welcher Wichtigkeit diese Verfahren für die Praxissind, kann aus der großen Zahl von diesbezüglichen Abhandlungenentnommen werden.

Unter den speziellen Näherangsverfahren, die wir hier genauerdarlegen wollen, sei zuerst eine Methode von Euler zur Integrationtotaler Differentialgleichungen genannt. Die Gleichung 1. Ordnungdenkt sich Euler 5 ) auf die Form

dx

gebracht, wo V eine Funktion von x und y ist. Für die höherenDifferentialquotienten ergibt sich leicht

*) Mach einer Arbeit, die mir Herr Professor von Braunmühl in liebens-würdigster Weise im Manuskript zur Verfügung stellte. ') Histoire de l’Academiedes Sciences 1771 1774), p. 281. 5 ) Vgl. auch den bereits erwähnten Aufsatz:

Ebenda 1769 (1772), p. 193; ferner 1770 ,1773), p. 191. 4 ) Hierzu zitiert er

Lagrange, Miscellauea Taurinensia, t. III. Vgl. die drittnächste Anmerkung

udü d’Alembert, Opuscules mathematiques, t. V. 5 ) Institutiones calculi

integralis, vol. I, p. 498. Vgl. auch o. S. 734.

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