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Abschnitt XXVII.

Anwendung der Taylorschen Reihe liefert die gewünschte Reihen-entwicklung. So führt die Gleichung

dy = dx(x " + cy)

y = b + o(o" + cb) -f- ] 03 2 (ccb + ca” + na"' 1 )

auf

+ l c3 3 (c a b + cca” + nca”~ l n(w — l)a” 2 ) + • • •,

6 v

wo b der zu x = a, y der zu x = a + co gehörige Wert von y ist.Bei der Gleichung 2. Ordnung

wo dy=pdx, und V eine Funktion von x, y, p ist, seien die An-fangswerte x = a, y = b, p = c. Für das Intervall

x = a bis x = a + co

ist

+ V(x — d) — f(x — a)dV.

Die Größe d V ergibt sich aus der gegebenen Differentialgleichung zu

d V = Pdx + Qdy + Iidp = (P + Qp + Ii V)dx.

Die Annahme, daß P + Qp + R V in dem Intervall a bis x konstantist, führt auf

p = c + F\x — a) — g ( P + Qc + RF ) (x — n) 2 ,

wo F den Anfaugswert von V bedeutet. Integration dieser Gleichungliefert endlich

y = b + c(x — a) + ^ F(x — af — — (P + Qc + RF) (x — a) s .

Aus diesem Näherungswert von y läßt sich sodann derjenige einesbenachbarten y finden; auf diese Weise läßt sich allmählich dasIntervall zwischen dem gegebenen a und einem beliebig großen xzurücklegen; auf das eventuelle Auftreten von Unstetigkeiten machtEuler aufmerksam.

Ein sehr eigentümliches Verfahren wendet Lagrange an 2 ): Diepartielle Differentialgleichung

*) Institutionen ealculi integralis, vol. II, p. 352. *) Miscellanea Tauri-

nensia, t. II 2 , 1760/61, p. 118. Im Original ist aus Versehen in der erstenGleichung die Größe c weggelassen.