Totale und partielle Differentialgleichungen.

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d x (x -)- z)

x(x-\- z)

dt{dx -j- dz)

führt er mit Hilfe von Reihen zurück auf

ds*d t z

Indem er auf der rechten Seite nur die ersten zwei Klammer-ausdrücke berücksichtigt, alle folgenden Glieder aber vernachlässigt,ohne natürlich den Einfluß dieser Unterdrückung auf die Integral-gleichung festzustellen, gewinnt er eine Gleichung, die er auf Grundder Besonderheit, daß

dzd*z

ein totales Differential ist, weiter behandeln kann.

Im folgenden gehen wir auf die Integration einer Gleichung ein,die für die Erfindung der Methode der Variation der Konstantenvon Wichtigkeit geworden ist. Lagrange behandelt 1 ) die für dieAstronomie wichtige Gleichung

+ Khy + L + i il/i/ 8 + * 2 -V?/ 3 +■••=> 0

mit konstanten Koeffizienten K, L, 21, . . ., wo i eine sehr kleineGröße ist. Es wird sich zeigen, daß die einzelnen Näherungsglei-chungen immer die Form

O

^ “f + K 2 y -f L -\- a cos at + b cos ßt -f- • ■ •

annehmen. Das Integral dieser Gleichung ist abery = f cos Kt + sin Kt + (cos Kt — 1) + ^ (cos Kt — cos«£)

+ ßi ( cos Kt — cos ßt) + • • •;

für den Fall — und der tritt gerade in unserm speziellen Problemein —, daß eine der Zahlen a, ß, ■■■ = K wird, findet Lagrangeden Wert des dadurch unbestimmt werdenden Terms durch Grenz-

*) Miscellanea Taurinensia, t. IIT*, 1762 65 (1766), p. 262ff.