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Abschnitt XXVII.

übercranof in bekannter Weise. Als erste Näherungsgleichung nimmt

Lagrange

<.Py

dt*

-f K J y + L = 0.

Das Integral hiervon kann aus der oben angegebenen allgemeinenFormel entnommen werden, indem man a = & = ••• = 0 setzt. Soergibt sich als erste Näherung

y = f cos Kt -f- jl sin Kt + (cos Kt — 1 j;

Laerrau ge setzt „der Einfachheit halber“ q = 0. Führt man diesenWert von y in das Schlußglied der zweiten Näherungsgleichung

gf + K-y + L + iMy*=0

ein, so ergibt sich als integrable Form der zweiten Näherungsgleichung

d°-y

dt*

IC-y + L + iM

'li

MLF

K*

cos Kt

wo zur Abkürzung

. MF*

+ i „ cos 2 Kt = 0,

f +

K*

= F

gesetzt wurde. Das Integral dieser Differentialgleichung kann wiederaus der allgemeinen Formel entnommen werden, und man erhält nach

Auswertung des dabei auftretenden Terms ^ einen zweiten Nähe-rungswert. Indessen geht bei Ausführung des Grenzübergangs einSummand von der Form --DsinATf in das Integral ein, und bei Fort-setzung der Methode würden auch Glieder auftreten, die in t~, f usw.multipliziert sind. Dieser Umstand macht die gefundene Reihenent-wicklung für die Praxis unbrauchbar. Lagrange sucht deshalb dieReihe so umzuformen, daß sie derartige Terme nicht mehr enthält.Sein Verfahren ist jedoch ziemlich mühevoll 1 !: verständlicher ist eineAbhandlung von Laplace über denselben Gegenstand. 2 ) Laplacebezeichnet sein Verfahren als eine nouvelle methode d’approximation.Sie besteht darin, sagt er, daß man die willkürlichen Konstanten inden angenäherten Integralen variieren läßt und so womöglich dieKreisbogen (er meint damit die Potenzen von t) zum Verschwindenbringt. Diese Methode ist, fährt er fort, wenn ich mich nicht

’) Das Schlußresultat Miscellanea Taurinensia, t. III 5 , 1762/65 (1766), p. 273.*1 Histoire de l’Academie des Sciences 1772, part. 1 (1775), p. 651 tf.