Totale und partielle Differentialgleichungen.

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täusche, vollständig neu und von großer Fruchtbarkeit für die Rech-nung. Diese Worte beweisen, daß sich Laplace der Neuheit, Eigen-art und Wichtigkeit seiner Methode vollkommen bewußt ist. ZurIntegration von

0 =

ocy

dt*

+ ?/-/ + uy\

wo a sehr klein und konstant ist, setzt Laplace ganz ähnlich wieLagrange zuerst

0

cdy

dt* ' y l ’

11 = 1+ p sin t + q cos t,

wo p und q zwei willkürliche Konstante sind. Setzt man jetzt;/ = l + p sin t + q cos t + ccz

in die ursprüngliche Differentialgleichung ein, wobei l, p, q, « kon-stant sind und z eine Funktion von t ist, vernachlässigt hierbei « 2und « 3 und dividiert mit « weg, so ergibt sich

j-p + z + P + p 2 sinG + q 2 cos t 2 + 2lp sin t + 2lq cos t+ 2pq sin t cos t = 0.

Diese Gleichung liefert ein Integral

O o

z - - [2?? + 981 - Iqt sin t + Ipt cos t + “ 9,8 cos 2t + ^ sin 2t.

Bis hierher unterscheidet sich das Verfahren von dem Lagrangesnicht wesentlich; um die mit t behafteten Glieder unschädlich zumachen, wird folgender Gedankengang benutzt: Substituiert man inder ursprünglichen Differentialgleichung T + t l an Stelle von t, sowird sie in ihrer Form nicht geändert. Man kann also das obenabgeleitete Integral durch ein anderes ersetzen, in welchem statt pund q die Konstanten ’p und ’q, statt t die Variable T + G auftreten.Nun ist der Umstand von Bedeutung, daß für T = (J und « — 0 dieGleichungen ’p = p und ’q = q statthaben, woraus Laplace schließt,daß ’p und p bzw. ’q und q sich um Größen von derselben Ordnungwie a unterscheiden. Er setzt demzufolge

P = P + dp und ’q = q + d q.

Die beiden Integralgleichungen für y liefern dann bei Vernachlässigungaller Größen, die mit « 2 , a 3 , ... gleiche Rangordnung haben, durchSubtraktion

0 = [dp + all’q] ■ sin t + (dq — ulTp) ■ cos t.