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Abschnitt XXVII.

Diese Gleichung zerfällt aber, da t variabel und T konstant, in diebeiden folgenden

dp = — ctlT ■ q und dq = ulTp.

Hieraus folgert Laplace

'p — f ■ cos alT — h • sin all 1 und ’q = /' • sin «lT + h ■ cos alT. *)Später 2 ) kommt Laplace noch einmal auf das Problem der Ent-fernung der Potenzen von t zurück. Er gebt jetzt von der allgemei-neren Gleichung

0 = l d J! + h 2 y + T+aY

aus, wo Y eine ganze rationale Funktion von a, y und den Sinusund Kosinus von t sein soll. Ein Ansatz der Form

y = z + az 1 + a 2 z n + a 3 z ul + ■ • •

liefert, wenn man die Terme gleicher Ordnung in u allemal gleichNull setzt, die Gleichungen

0 “ fc + ¥z + J ; 0 - ^ + 2' 1 ;

o = + l’ 11 usw.,

wo TW eine Funktion von z, z 1 J . . .z l ' i ~ 1 \ sowie der Sinus und Co-sinus von t ist. Treibt man die Annäherung bis zur Ordnung von a”,so hat man damit n + 1 Gleichungen, deren sukzessive Integrationaber im allgemeinen Kreisbogen in die Lösung einführt. Laplacebehandelt nun zunächst das spezielle Beispiel

F = m y cos 2 t

nach dieser Methode und schließt aus der Form des Integrals, daßim allgemeinen Fall die Lösung folgende Form besitzen wird:

// = [p + At + Bt 2 -f • • •] sin ht + [g + Mt Nt 2 + • • ■] cos ht + B.

Hierbei sind A, B, ... M, N, ... ganze rationale Funktionen von p,q und K] B ist eine ganze rationale Funktion von p, q, a, t und ver-schiedenen Sinus uud Cosinus, worunter jedoch sin ht und cos htsich nicht befinden. Laplace formt diesen Ausdruck so um, daß an

l ) Macht mau die Probe, so wird da an Stelle von a auftreten. Einejener kleinen Ungenauigkeiten, wie sie in diesen für die Praxis geschriebenenAufsätzen häufig zu finden sind. *) Histoire de l’Academie des Sciences 1777^1780), p. 373 ff. Vgl. auch die Histoire desselben Bandes, p. 55.