Totale und partielle Differentialgleichungen.

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Stelle der Potenzen von t solche von t — 0 auftreteu, wo 6 eine neueKonstante ist. Trotzdem kann der Ausdruck, wie er sagt, dadurchnicht allgemeiner werden, da er bereits die zwei Integrationskonstantenp und q enthält. Auf Grund einer Überlegung, welche der oben aus-einandergesetzten analog ist, findet Laplace endlich folgende Regelzur Bildung eines Integrals, welches die Potenzen von t nicht enthält:Stellt man das Integral aus dem Gleichungssystem für z, z 1 usw.nach gewöhnlichen Methoden in der vorerwähnten Form dar undunterdrückt nachträglich alle Glieder, die t und seine Potenzen ex-plizite enthalten, so hat man das Integral in der gewünschten Form,sofern man nur für p und q die Werte einsetzt, welche sich durchIntegration der Gleichungen

= A und 82 =ü/ct ct

ergeben; das gesuchte Integral wird wieder zwei Integrationskonstantenenthalten. Im folgenden zeigt Laplace 1 ), wie sich seine Methodeauf ein in der Störungstheorie brauchbares Simultansystem ausdehnenläßt. Dasselbe lautet:

0 - g + h'y + I + aY- 0 = ^ + Vhf + T 1 + «F; . . .,

die T, T 1 . . . sind hierbei ganze rationale Funktionen der Sinus undKosinus von t, die Y, Y 1 , . . . ganze rationale Funktionen derselbenGrößen, sowie von « und den n Variabein y, y 1 , .... Endlich über-trägt Laplace seinen Gedankengang noch auf die Integration von

wo p eine Funktion von y, seinen Ableitungen nach t, Sinus, Cosinus,Exponentialfunktionen mit dem Argument t, nicht aber den Potenzenvon t ist.

Die Entfernung der Kreisbogen aus dem Integral, dieLagrangeund Laplace durch geistreiche Überlegungen bewerkstelligt hatten,leistet Trembley, dem die Methode der Variation der Konstanten,und nicht bloß in der Laplaceschen, sondern auch in der viel durch-sichtigeren, weniger anfechtbaren Lagrangeschen Form von 1775(vgl. S. 932), verdächtig erscheint, auf anderem Wege vermöge seinerGeduld imd Ausdauer im Rechnen. 2 ) Trembley erkennt ganz richtig,daß das Auftreten der Kreisbogen nur auf Täuschung beruht; denn

r > Histoire de l'Academie des Sciences 1777 (1780), p. 384. s ) XouveauxMemoires de l’Academie de Berlin 1786/87 (1702), p. 363ff.