Totale und partielle Differentialgleichungen.

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vollständige Integral zusammensetzen. Im folgenden 1 ) verbessertTremblev eine von d’Alembert 1769 in den Pariser Memoiren ent-wickelte Xäherungsmethode, deren Grundgedanke darin besteht, daßman eine gegebene Differentialgleichung wiederholt differentiiert unddie so erhaltenen Gleichungen derart zu kombinieren sucht, daß maneine integrable Gleichung höherer Ordnung erhält, welche die ur-sprüngliche näherungsweise zu ersetzen vermag.

\V ir haben im vorausgehenden die Methode der Variation derKonstanten zum erstenmal bei Laplace mit vollem Bewußtsein ihrerEigenart auftreten sehen; die Idee selbst, eine Größe zeitweilig alskonstant und dann als variabel aufzufassen, ist indessen schon langegenug vorbereitet. Zunächst sei an die Bestimmung des Integralsder totalen linearen Differentialgleichung n tel Ordnung mit konstantenKoeffizienten im Fall gleicher Wurzeln erinnert (vgl. S. 928, Note 1), diebewerkstelligt wurde, indem man den Wurzeln, d. i. in Wirklichkeitkonstanten Größen, sehr kleine, gegen Null abnehmende Differenzenerteilte, ohne sich mit der Frage nach der Berechtigung eines solchenSchrittes aufzuhalten. Euler behandelt 2 ; folgende Aufgabe: Sei Veine gegebene Funktion von x und y, es soll das Differential von

Z— IYdx ,

wo die Integration bei konstantem y vorgenommen wurde, bestimmtwerden, wenn dabei auch y variabel angenommen wird. Euler erhältunschwer

dZ= Vdx + dy J(ix f'”’) •

Kurz darauf stellt er die Aufgabe, aus einer gegebenen Differential-gleichung, die einen Parameter enthält, jene Gleichung abzuleiten,welche entsteht, wenn man die Integralgleichung so differentiiert, daßdabei auch jener Parameter variabel ist. Die Störungsgleichungendes (Mondes werden von Euler und späteren mit Benutzung des Um-standes abgeleitet, daß gewisse Bewegungsgleichungen sowohl beiKonstanz als bei Variabilität bestimmter ßahnelemente bestehenmüssen. Nach ihm hat Lagrange dieselbe Methode in seiner Ab-handlung über die Theorie von Jupiter und Saturn benutzt 3 ! unddas Prinzipielle und Eigenartige dieser Methode noch besonders be-tont; er ist es auch, der die Methode zuerst in weitestem Umfang

*) Nouveaux Memoires de l’Academie de Berlin 1786/1787 (1792;, p. 387.Siehe auch p. 397. *) Institutiones calculi integralis, vol. III, p. 31. Vgl. auch

Klügels mathematisches Wörterbuch, I. Abtlg., unter „Differentialgleichung“,S. 891. *) Miscellanea Taurinensia, t. IIP, 1762 65 (1766). p 323.