926

Abschnitt XXVII.

gebraucht hat. Von Variation der Konstanten kann man auch beiLagranges Herleitung des singulären Integrals aus dem vollständigenIntegral reden; in allen diesen Fällen handelt es sich jedoch nichtum die uns geläufige Methode der Variation der Konstanten. Diesebesteht vielmehr darin, daß man statt einer gegebenen Differential-gleichung eine andere, die aus der ursprünglichen entweder durchVernachlässigung einzelner Glieder oder dadurch, daß man eiuzelneVariable konstant setzt, hervorgeht, behandelt, und in dem Integraldieser Hilfsgleichung nachträglich die Integrationskonstanten odereinstweilen konstant gesetzten Veränderlichen variieren läßt. Indiesem Sinne ist die Variation der Konstanten nur eine spezielleNäherungsmethode, die durch passende Korrektion einen halbwegsbrauchbaren Wert genau richtig macht. Hierher könnte man z. B.die Integration totaler Differentialgleichungen mit mehr als 2 Varia-bein, welche die Integrabilitätsbedingungen erfüllen, rechnen, die manbekanntermaßen dadurch vollzieht, daß man in der ursprünglichenGleichung nur 2 Variable variieren läßt, integriert und nachträglichdie Integrationskonstante als Funktion der konstant gelassenen Variablenansieht; diese Methode ist zu Beginn des hier behandelten Zeit-abschnitts bereits bekannt. Ganz analog geht man bei partiellen Diffe-rentialgleichungen vor, die nur die Ableitung nach einer Variabein ent-halten, und wir werden sehen, daß Lagrange einen ähnlichen Gedanken-gang in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung mitgroßem Erfolg verwertet hat (vgl. S. 970). Die eleganteste Anwendungder Variation der Konstanten hat Lagrange mit der Integration dervollständigen linearen totalen Differentialgleichung und Differenzen-gleichung n teT Ordnung gegeben (vgl. S. 932). Derselbe geht auchauf die Möglichkeit der Integration von

o r*

d"y

d x‘

V + P = II,

fl 1 >

wo P und 11 Funktionen von x , y,

dy

A n

sind, mittels Va-

n — 1 '

dx’ y x "

riation der Konstanten ein, falls das vollständige Integral von

d n y

dx”

+

P = 0

bekannt ist. 1 ) Ferner erwähnt er, daß die Methode der Variation derKonstanten mit Vorteil auf die durch Vernachlässigung sehr kleinerGrößen erhaltenen angenäherten Integrale von Simultansystemen an-geweudet werden kann 2 ), daß jedoch für ein beliebiges vollständiges

') Nouveaux Memoires de l’Academie de Berlin 1775 (1777), p. 192.*) Ebenda, p. 195.