Totale und partielle Differentialgleichungen. <127

Integral einer Gleichung 2. Ordnung dieselbe Methode plus curieusequ’utile sei. 1 )

In Verbindung mit der Methode der unendlichen Reihen ist dieIntegration durch bestimmte Integrale zu nennen. BesondersEuler hat sich mit dieser Aufgabe beschäftigt; und wie er in derTheorie des Multiplikators die zu einem gegebenen integrierendenFaktor gehörige Differentialgleichung sucht, geht er auch hier voneinem gegebenen Integral aus und fragt nach der äquivalenten Diffe-rentialgleichung. Bezüglich der Integration der linearen Differential-gleichung 2. Ordnung nach diesem Verfahren, per quadraturas curva-rum, wie er sich ausdrückt, bemerkt er selbst 2 ), es sei dabei zu be-achten, daß die Wahl jenes Integrals nicht völlig von der Willkürdes Rechners abhängt, sondern von vornherein die Anlage habenmuß, bei der Entwicklung der zugehörigen Differentialgleichung aufdie 2. Ordnung zu führen; es stehe daher nicht zu hoffen, auf diesemWege jemals zu einer beliebig vorgegebenen Differentialgleichung zugelangen. Letzterer Aufgabe, eine gegebene Differentialgleichungdurch ein bestimmtes Integral zu integrieren, sucht Euler dadurchbeizukommen, daß er das Integral zuerst in Form einer unendlichenReihe entwickelt und diese nachträglich in ein bestimmtes Integralverwandelt 3 ); das Integral der auf Seite 911 erwähnten Differential-gleichung erhält er auf diesem Weg in mehrfach verschiedener Form.Dieselbe Methode wendet, wie wir sehen werden (vgl. S. 1006), La-place auf die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung an;er stellt das Integral als unendliche Reihe dar, die er in ein be-stimmtes Integral umformt.

Mit der Schilderung dieser Methoden haben wir die Gesichts-punkte, welche für totale wie partielle Differentialgleichungen ingleicher Weise in Betracht kommen, ziemlich erschöpft und wirwenden uns zunächst ausschließlich den totalen Differentialglei-chungen zu. Hier ist es die lineare Gleichung, d. h. die Glei-chung, deren Koeffizienten Funktionen der unabhängigen Variablenallein sind, welche das Hauptinteresse der Mathematiker auf sichgezogen hat, und ihrer L'ntersuchung ist eine ganze Reihe von Ab-handlungen gewidmet. Auf diesem Gebiet hatten schon Euler undd’Alembert viel geleistet; sie hatten zunächst die unvollständige,dann aber auch die vollständige Gleichung mit konstanten Koeffizienten

Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 101. Hier mag noch erwähnt werden,daß auch Euler gelegentlich aus partikulären Integralen die vollständigendurch “Variation der Konstanten herleitet; man vgl. einen Aufsatz vom Jahre 1778in Nova Acta Academiae Petropolitanae, t. XIII, 1795/96 (1802), p. 3 ff.

! ) Institutiones calculi integralis, vol. H, p. 308. *) Ebenda, vol. II, p. 310 ff.