Abschnitt XXVII.

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integriert, auch den Fall gleicher und komplexer Wurzeln der dabeiauftretenden Hilfsgleichung behandelt. 1 ) Den Fortschritt zu nicht-konstanten Koeffizienten macht Lagrange 2 ); er wird dabei zu einerGleichung geführt, die wir heutzutage die Lagrangesche Adjungiertenennen. Multipliziert man die Gleichung

wo L, j\I, X, . . . T Funktionen von t sind, mit zdt, wo z eine nochzu bestimmende Funktion von t ist, und integriert, so erhält mandurch partielle Integration

d ■ Mz

d • X z

d 1 ■ X

Setzt man diese Ausdrücke in die ursprüngliche Differentialglei-chung ein, so kommt

d ■ X z

+■•■) +J?(

d ■ l‘z

d • Mz

d* ■ Xz

Tz dt.

Ist der Klammerausdruck unter dem Integralzeichen gleich Null —eine Relation, die man als Differentialgleichung für z auffassen kann— so bleibt eine Differentialgleichung für y stehen, deren Ordnungim Vergleich zu der gegebenen Differentialgleichung um einen Gradniedriger ist. Die Relation zur Bestimmung von z behandelt Lagrangeauf dieselbe Art weiter; er verlangt eine Funktion y von t zu linden,deren Kenntnis, genau wie vorher die der Funktion z, Ordnungserniedri-gung ermöglicht. Er wird dabei auf eine Differentialgleichung für yzurückgeführt, die sich von der Anfangsgleichung in y nur dadurch unter-scheidet, daß die rechte Seite nicht 7’, sondern 0 ist. Lagrangewird damit zum Entdecker des Satzes, daß die Adjungierte der Ad-jungierten die ursprüngliche unvollständige Gleichung ist; da er aberfür die Adjungierte keinen besonderen Namen hat, so hebt er dieseauffällige Tatsache nicht besonders scharf hervor. Euler kommt in

*) \gl. diese Vorl., IIP, S. 892—895 bzw. S. 898. Den Fall gleicher Wurzelnbehandelt d’Alembert auch unter Tangentes im Dictionnaire des mathematiquesder Encyclopedie methodique. *) Miscellanea Taurinensia, t. IIP, 1762,65

(1766), p. 179 ff.