Totale und partielle Differentialgleichungen.

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einer Abhandlung von 1778 wieder auf die Frage der Ordnungs-erniedrigung, scheint aber die Resultate der Lagrangesehen Abhand-lung, die er jedenfalls gelesen hatte, vollständig vergessen zu haben,wenigstens hält er sein Ergebnis für vollkommen neu; er formuliert 1 )folgendes Gesetz: Die Gleichung

r*) o

pz + qdz + rddz + sd 3 z + td*z + • • • = 0 2 )

wird ein totales Differential mittels eines Multiplikators Z , welchersich aus der „konjugierten Gleichung“

VZ + QdZ + lid-Z + Sd 3 Z + Ttt*Z + • • • = 0bestimmt, wo

V = p — dq ddr — d 3 s +d i t----

Q = -q + 2dr - 3dds+ 4 d 3 t -

I! = r — ‘6ds -f dt — ■ • •

>S = — .s‘ 4 (/1 — • • •

T = t -

Durch Auflösung dieser Gleichungen nach p , q, r, ... findetEuler , daß diese Größen durch die V, Q, li, . . . genau in derselbenWeise ausgedrückt werden, wie letztere durch jene; daraus schließter, daß von den beiden Gleichungen für z bzw. Z eine die konjugierteder anderen ist. Eulers Darstellung bedeutet insofern einen Fort-schritt gegenüber Lagrange, als in ihr erst die vollkommen gleicheBauart, die durchgehende Dualität zweier adjungierter Gleichungenerkannt und durch eine übersichtliche Bezeichnungsweise (kleine undgroße Buchstaben) .angedeutet ist; Lagrange hatte nur beobachtet,daß bei zweimaliger Anwendung seines Verfahrens schließlich die ur-sprüngliche, aber unvollständige Gleichung resultiert.

Lagranges Hauptverdienst ist in der Aufstellung allgemeinerSätze über die Integrale der linearen Differentialgleichungen zu sehen,m. a. W. in der Schaffung einer Theorie dieser Integrale; die Formdes vollständigen Integrals als Summe von unabhängigen, mit will-kürlichen Konstanten multiplizierten Partikulärintegralen, der Zusam-menhang zwischen vollständiger und unvollständiger Gleichung 3 ), ins-besondere aber die Einsicht, daß die Kenntnis von m Partikulärinte-gralen (valeur particuliere) der letzteren eine Ordnungserniedrigung

') Nova Acta Academiae Petropolitanae, t. XIV, 1707/118 (1805), p. 58.

*) Die Potenzen des Differentials der unabhängigen Veränderlichen sind hiereinfach weggelassen. 3 i Für die Gleichung 2. Ordnung eingehend besprochen.