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Abschnitt XXVII.
der ersteren um m Grad ermöglicht 1 ), sind nach meiner Ansicht dievornehmsten Resultate der erwähnten Abhandlung. In der Praxismuß natürlich Lagrange häufig zu Reihenentwicklungen seine Zu-flucht nehmen; so setzt er 2 ) z. B. für
n \ <1 x
+ ( 2i + v)
auf welche Form er von
azt %m +
ausgehend kommt, die Reihe
x = Au r + Bu r + 1 + Cu r + * -f • ■ ■
an und bestimmt die unbestimmten Koeffizienten in gewohnter Weise.Die Lagrangesche Theorie der linearen Gleichung beliebiger Ord-nung läßt sich sehr vorteilhaft auf die Gleichung
Ay + B(h + Id) d / t + C(h + kt) 2 + . . . = T
anwenden, wo h, k, A, B, . . . Konstante sind. Lagrange bildet 3 )die Adjungierte und setzt versuchsweise deren Integral (Ji + ktf.Das gibt eine Gleichung für r, nämlich
A - Bk(r -j- 1) -f Ck 2 i r + l)(r + 2) — • • ■ = 0.
Lagrange geht dann auf die Ermittlung des vollständigen Inte-grals der ursprünglichen Gleichung ein. Als Anwendung bringt er 4 )die Behandlung einer Gleichung, die eine unbekannte, zu bestimmendeFunktion enthält; das Problem führt mit Zuhilfenahme des Taylor-schen Satzes auf eine Gleichung der erwähnten Art von unendlichhoher Ordnung. Solche Gleichungen, allerdings nur mit konstautenKoeffizienten, hatte schon Euler vor ihm behandelt (vgl. diese Vorl., III 2 ,S. 89(5); in seiner Integralrechnung finden sich wieder eine Menge,teils schon früher gelöster derartiger Gleichungen 5 ), aber weder E ulernoch Lagrange erkennen oder erwähnen, daß in die Lösung dieserGleichungen, weil sie im Grunde genommen nichts als Differenzen-gleichungen sind, eine willkürliche Funktion eingeht. Die unendlichvielen Integrationskonstanten ihrer Lösung konnten sie deshalb nichtzu dieser Einsicht führen, da ihnen die Darstellbarkeit einer beliebigenFunktion durch trigonometrische Funktionen unbekannt war. 6 ) Glei-
*) Miscellanea Taurinensia, t. IIP, 1702 65 (1766), p. 183. *) Ebenda,
p. 187. *) Ebenda, p. 190. 4 ; Ebenda, p. 201. s ) Institutiones caleuli
integralis, vol. II, p. 459, 463, 476, 477, 480. 6 ) Vgl. diese Vorl., IIP, S. 907.