Totale und partielle Differentialgleichungen.

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chungen von unendlich hoher Ordnung mit nichtkonstanten Koeffi-zienten behandelt Euler nicht, obwohl er z. B.

Cx i ddy

X = Ay +

für beliebige Ordnungen untersucht.

An die Möglichkeit der Ordnungserniedrigung bei Kenntnis vonPartikulärintegralen knüpft d’Alembert in einem Schreiben an La-grange 1 ) wieder an und bringt einen neuen Beweis dafür; derselbeForscher gibt an anderer Stelle den bekannten Satz, daß das vollständigeIntegral der vollständigen Gleichung aus zwei Teilen sich additiv zu-sammensetzt, nämlich aus einem Partikulärintegral der vollständigenund dem vollständigen Integral der unvollständigen Gleichung.

Laplace behandelt die lineare Differentialgleichung 2 ) nicht wieLagrange mit Hilfe eines einzigen Multiplikators, sondern bedientsich gleich eines ganzen Multiplikatorsystems. Sei

y + K

wo X, H, H', . . . Funktionen von x sind. Laplace setzt

wo co und T erst näher zu bestimmende Funktionen von x sind.Durch Differentiation ergibt sich daraus

d y dT

d n ~ l y d n ~ l _n dy = d n ~ l T

dx n ~ i ^ ^ dx”- 1 dx ~ dx n ~ l

n — 1 dio, 1 dx

Diese Gleichungen multipliziert Laplace bzw. mit a, a", . . .und addiert unter Hinzuziehung von

So ergibt sich eine Gleichung, die durch Vergleichung mit der ur-sprünglichen auf folgendes System führt:

*) Miscellanea Taurineusia, t. III 2 , 1762/65 (1766), p. 381—396. Vgl. auch

die Pariser Memoiren für 1767 und 1769.1766/69, p. 173 ff. (verdruckt statt 273).

*) Ebenda (Mise. Taur.), t. IV 2 ,

Ca>'tok, Geschichte der Mathematik IV ."

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