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Abschnitt XXVII.

(,) (,}(" “ a ) -f- (,)<" " ') -f 1 . w (n - 1) 'IX — JJi.» - -)1 dx

i ' i - «“ ,

“ + “ + “ +

= H.

Diese Gleichungen gestatten aber die ro', w", . . . durch co unddie 22', 27", . . . auszudrücken. Durch Substitution der so erhaltenenWerte in

u , » , ,d<ü ,,ddco

H=* + m t o dx +w dxi + •■•

und

X =

2’ + co

,cir

dx

+ /<co

rf'T

dx*

+ •••

ergeben sich endlich zwei Differentialgleichungen für co und 2'; dabeiist Ordnungserniedrigung erzielt worden. Hat man aus den letzt-erwähnten beiden Gleichungen eine Reihe Partikulärlösungen ß,ß',...von co und die zugehörigen T, 2", . . . gefunden, so erhält man mitHilfe von

w ftl + y = r

das Integral

dx \

ff dxJ -\—

Auf die weitere Theorie der hei Anwendung dieser Methode auf-tretenden Ausdrücke, insbesondere für den Fall konstanter 22, 27', ...*)kann hier nicht näher eingegangen werden, da die Resultate nichtneu und die auftretenden Formeln alle ziemlich kompliziert sind.Laplace behandelt speziell auch die Gleichung 2. Ordnung, welcheauf die allgemeine Riccatisehe Differentialgleichung führt. 2 )

Der nächste bedeutende Fortschritt ist die Heranziehung derMethode der Variation der Konstanten zur Nutzbarmachung des Zu-sammenhangs zwischen vollständiger und unvollständiger Differential-gleichungen durch Lagrange. 3 ) Sei die lineare Gleichung n ter Ord-nung gegeben:

P/i + Q

dy

dx

R'j'i + ■ ■ ■ + V — = X,

dx- dx n ’

wo X, P, Q } R , .. . Funktionen von x sind. Im Fall X = 0 sei das

*) Miacellanea Taurinensia, t. IV*, 1766 69 , p. 295 . *) Ebenda, p. 297 .

*) Nouveaux Memoires de l’Academie de Berlin 1775 ( 1777 ), p. 190 .