Totale und partielle Differentialgleichungen. 933
vollständige Integral der Gleichung bekannt; dieses besitzt notwendigdie Form
ij = np + bq + «• + •••,
wo a, b, c, ... n Integrationskonstanten, p, q, r, ... ebensoviele par-tikuläre Werte von y darstellen. Betrachtet man, fährt Lagrangefort, die willkürlichen Größen a, b, c, . . . als unbestimmte Variableund setzt in den Ausdrücken dy, d 2 y, ... d n ~ 1 y den Teil, der vonder Variabilität von a, b, c, . . . herrührt, immer gleich Xu 11, so er-gibt sich
dy =
= adp
+
bdq
+
edr
+ •••
0 =
= pda
+
qdb
+
rdc
+ • • •
#y =
= ad-p
i
T
bd 2 q
+
cd 2 r
+ • • •
o =
= dpda
+
dqdb
+
drdc
+ ■ • •
~ 1 !/ =
= ad' , ~ 1 p
+
bd n ~ 1 q
+
cd " _1
r + • • •
0 =
= d"~ 2 pde
d" ~ "qdl.
• +
d n ~ 2 r
de + • • •
und endlich
d"y = ad“p 4- bd n q + cd n r -{-•■•
+ d n ~ 1 pda + d n ~ l qdb + d"~ 1 rdc + • • ••
Auf diese Weise erhalten also die Ausdrücke für dy, d 2 y, . . . d n ~ l ygenau dieselbe Form, wie wenn a, b, c, . . . konstant wären, und auchd"y unterscheidet sich von dem d n y im Fall konstanter Koeffizientennur durch das Zusatzglied d n ~ l pda + d n ~ 1 qdb + d' l ~ 1 rdc + • • •. Daaber bei konstanten Koeffizienten die Ausdrücke für y, dy, . . . d n ynach den Voraussetzungen über die Größen a, b, c, . .. p, q, r,der unvollständigen Differentialgleichung Genüge leisten, so müssenauch jetzt, im Fall der vollständigen Gleichung, bei Substitutionobiger Ausdrücke für y, dy, . . . d n y alle Terme sich gegenseitig fort-heben, und nur das zu d n y gehörige Zusatzglied und der Term Xwerden davon eine Ausnahme machen. Es resultiert also die Gleichung
X
d"~ 1 pda + d n ~ 1 qdb + d a ~ l rdc + ■ ■ ■ = ^ dx",welche mit den n — 1 Bedingungsgleichungen0 =pda + qdb + rdc + • • •
0 = d"~ 2 pda + d' l ~' 2 qdb + d“~ s rdc + • • •
zusammen n Gleichungen zur Bestimmung der Differentiale da, db,de, ... liefert.