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Abschnitt XXVII.

Von späteren Arbeiten 1 ) über die lineare Gleichung sei nur nocheine Abhandlung von Lorgna besprochen. 2 ) Lorgna geht zunächstauf die vollständige Gleichung mit konstanten Koeffizienten ein; ersubstituiert für die abhängige Variable y den Ausdruck

wo u und z neue Variable sind, während u konstant ist, und drücktdy, ddy, . . . durch z, u, y, du und das Differential dx der unab-hängigen Veränderlichen x aus. Nach Einführung dieser Werte indie ursprüngliche Differentialgleichung setzt er den Teil, welcher denFaktor y besitzt, für sich gleich Null und erhält so zwei Gleichungen,deren eine nur z und seine Ableitungen nach u enthält, also als Be-stimmungsgleichung für z benutzt werden kann. Zugleich ist Ord-nungserniedrigung erreicht. Interessanter sind die Untersuchungenüber die Gleichung 2. Ordnung 3 )

JIdz 2 — x 2 (a -f hx”)ddy -f- x(e -f fx”)dxdy -f (g -f hx”)ydx 2 ,

von der uns der Fall M = 0 schon wiederholt begegnet ist (vgl.S. 911 und 92<). Durch die Substitution ?/= — ergibt sich

xMdx 2 = x 2 (a + bx n )ddz + x(— 2 a + e + (— 2b + f)x”)dxdz+ (2a — e fi- g + '2b — f + h)x”)zdx 2 ,

und diese Gleichung ist genau von derselben Form wie die ursprüng-liche. Die wiederholte Anwendung analoger Substitutionen

n O

, z" ,/ z"z = , z = - ■■ ■

X 1 X 7

wird daher wieder eine Gleichung der alten Form hervorbringen,nämlich

x m 3Idx 2 = x-(a + bx n )ddz ,m ~ v > + x(e — 2ma -f- (f — 2mb)x”)dxdz {v> ~ 11+ ((/« + m 2 )a — me -f- y -(- ((»» -f > n* *)b — m(f + li)x n )z < - m - l '>dx 2 .

Ist nun das letzte Glied gleich Null, so wird die Differentialgleichungbedeutend vereinfacht, und man kann ihr Integral leicht angeben.Ein derartiges Verschwinden wird eintreten, wenn die Gleichungen

m 2 a + m(a — e) + g = 0 und m 2 b + m(b — f) + h = 0

*) Siehe auch Meraorie di Mat. e Fis. Soc. It., t. VIII, 1799, parte I, p. 307 ff.

*) Ebenda, t. II, 1784, parte I, p. 177 ff. *) Ebenda, p. 197.