Totale und partielle Differentialgleichungen.

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bei gegebenen Koeffizienten a, b, c, . . . beide durch das nämlicheganzzahlige m gelöst weiden; dieses Kriterium bat die besondereEigentümlichkeit von n unabhängig zu sein. Die Methode erinnertan die Laplacesche Kaskadenmethode für partielle Differentialglei-chungen 2. Ordnung (vgl. S. 1001 ff.). Auf dem nämlichen Wege leitetLorgna ein ähnliches Kriterium für die Gleichung beliebiger Ordnung

Mdx n = x m +1 (a + bX)ydx” + x m + 2 (c + eX)dydx n ~ 1+ x”‘ + 2 (f -f g X)ddydx”~ 2 + • • •ab; die Substitution, die liier zum Ziel führt, ist

v

>J = x ,n +1 •

Von den nicht-linearen Differentialgleichungen ist wegenihres Zusammenhangs mit der linearen Gleichung 2. Ordnung, sowie wegenihrer Bedeutung für die Flächentheorie, Physik usw., die RiccatischeDifferentialgleichung wohl die interessanteste. Mau versteht darunterheutzutage die Gleichung

d d y x = «oO) + «tW • y + «2 (x)-y 2 ,

und es scheint, daß d’Alembert als einer der ersten den Namen inweiterem Umfang als früher üblich gebraucht hat, wenn er die aus

vermöge

dd£ _ —Ä 8 :m 8 f

dx 1 2 a Le

jpdx

% = C J

hervorgehende Gleichung als Riccatische bezeichnet. 1 ) SpezielleFormen der allgemeinen Gleichung treten natürlich viel früher auf(vgl. Cantor IIP, S. 880) 2 ), aber Lagrange 3 ) und Euler bezeichnengewöhnlich nur die Gleichung, die das Glied mit y 2 nicht enthält,als Riccatische; allerdings sagt Lagrange 4 ! von der Gleichung

d- 31 m dM _ . ,,

dx- ~ x dx ~ C '

(vgl. S. 912), sie falle unter „le cas general de Riccati“, sagt aber

*) Histoire de l’Academie de Berlin, t. XIX, 1763 (1770), p. 24'2. *) Nach

einer gütigen Mitteilung von Herrn Professor von Braunmühl schon 1738 beiEuler : Commentarii Academiae Petropolitanae (1747), p. 46. s ) Z. B. Mis-

cellanea Taurinensia, t. III 8 , 1762 65 A766;, p. 189. 4 ) Ebenda, t. II 8 , 1760 61,

p. 81.