Totale und partielle Differentialgleichungen.

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stitution z = v u ~ 1 in eine lineare Gleichung überzufiihren 1 ) und beiKenntnis zweier Partikulärlösungen durch Quadraturen zu erfüllen; derSatz von der Konstanz des Doppelverhältnisses von vier partikulärenIntegralen scheint erst in jüngerer Zeit gefunden worden zu sein. 3 )

Von anderen speziellen Gleichungen, wie sie meist bei praktischenAufgaben auftreten, sei beispielshalber die von Euler behandelteGleichung

indds , ids ns _ q

dn* ' dn ' 1 — nn

angeführt 3 ); Nikolaus Fuß schreibt 4 ) über die Gleichung

<(1 + 4 1) — L(4» — ö)t + n\ p t + (nn — n)s = 0,

welche einen Spezialfall der Gaußischen Differentialgleichung dar-stellt, entwickelt s in eine Reihe nach Potenzen von t und leitet ausder ursprünglichen Differentialgleichung durch Transformation ver-schiedene neue ab. Eine Gleichung, die sich von der lliccatischendadurch unterscheidet, daß die abhängige Variable auch in der 3. Po-tenz auftritt, findet Euler gelegentlich eines mechanischen Problems. 5 )Auf eine Menge interessanter, spezieller Gleichungen 2. Ordnung kommtLegendre in einem Aufsatz über die Figur der Planeten zu sprechen. 6 )Ungleich mehr Interesse beansprucht die Theorie der Differential-gleichung

dx dy

yx~yn’

wo X und Y Polynome in x bzw. y sind, die allerdings im Zusam-menhang mit der Theorie der elliptischen Integrale zu betrachtenist (vgl. S. 795 ff.). Hier sei nur eine Untersuchung angeführt, welcheausschließlich auf Methoden beruht, wie sie für Differentialgleichungenin Anwendung gebracht werden. In einer Arbeit aus dem Jahre 1768,die sich die Auffindung von Differentialgleichungen, welche ein Ad-ditionstheorem zulassen, zur Aufgabe macht, behandelt Lagrange indirektem Anschlüsse an Eulers einschlagende Arbeiten (s. o. S. 807)zunächst 7 ) die Gleichung

h Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. \ III, 1760/61 (1763),p. 32 ff. Ebenda, t. IX, 1762 03 (1764), p. 162. 8 ) Hier sei noch ein Aufsatz

von Lorgna über die Gleichung Qdx -\- Py-dx -(- dy — 0 in Memorie di Mat.e Fis. Soc. It., t. III, 1786 erwähnt. s ) Acta Academiae Petropolitanae 1780(1784;, pars II, p. 8. 4 ) Ebenda 1782 (1785), pars I, p. 107. 4 ) Ebenda,

1778, pars II, p. 162. Auf diese Gleichung geht Stephan Rumoyski (1734bis 1815) ebenda 1781 (1784), pars I, p. 147ff. wieder ein. Eine andere spezielleGleichung 1. Ordnung behandelt derselbe Nova Acta Acad. Petrop., t. XII, 1794(1801), p. 192—195 (der Aufsatz stammt aus dem Jahre 1797). 6 ) Histoire

de l’Academie des Sciences 1789 (1793), p. 372 ff. 7 ) Miscellanea Taurinensia,t. IV 5 , 1766 69, p. 104.