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Abschnitt XXVII.

V a + Py + yy

ya -|- fix -f- yx

w = a + ß x + yxi und % = a + ßy + yy~

erhält er durch Differentiation und darauffolgender Division mit ^

Gleichungen

ß + 2ya;

Die Substitution x -f y — p liefert

2ß + 2yp,

also

-/t = V k + %ßP + 7P 2 ',

hierbei bedeutet k die Integrationskonstante. Mit Berücksichtigung von

dp _ dx-\- dy

dt dt

p = x + y und

folgt sofort die Gleichung

1/(« + ßx + Y* 2 ) + V (« + ßy + ?■>/) = V\h + 2ß(x + y) + y(x -\-yf\ ,

welche den Zusammenhang zwischen x und y algebraisch ausdrückt.Analog führt die Substitution x — y = q zu

o d'q 0

und damit zu

V(« + ßx + Y x 2 ) — V(« + ßy + 7’/) = V[H + ß( x — 2/) 2 ] •

Lagrange wendet seine Methode auch auf elliptische Integrale anund behandelt dann 1 ) allgemein die Gleichung

dx dy

yx yr ’

wo X und 1' dieselbe ganze rationale Funktion beliebigen Gradesvon x bzw. y darstellen; er probiert verschiedene mögliche Formender Integralgleichung 2 ), führt aber die Untersuchung wegen ihrerSchwierigkeit nicht zu Ende; nach seiner Ansicht ist die Entdeckungweiterer Differentialgleichungen, die zunächst auf Transzendentenführen, aber auch durch eine algebraische Gleichung integrabel sind,nicht ausgeschlossen.

’) Miscellanea Taurinensia, t IV 5 , 1766/69, p. 111. *) Ebenda, p. 114, 124.

Vgl. S. 810 dieses Bandes.