Totale und partielle Differentialgleichungen.

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Totale Differentialgleichungen höheren Grades finden sich inEulers Integralrechnung viel behandelt; der wichtigste Fall ist der-jenige, in welchem die eine Variable nicht explizite in die Differential-gleichung eingeht. Man erhält dann das Integral zunächst in Para-meterdarstellung. So liefert 1 )

wo p =

dyd x ’

x s + j ) 3 = apx,

bei Anwendung der Substitution p = -ux die Gleichungen

x =

a u

1 + M*

und

a u u

]) = r+-«» ’

also vermöge dy = pdx auch

/ undu 1 1 — 2ft 3 )

-77 ^ - -•

(1 + ft 3 ) 3

Die Schlußgleichung zwischen x und y, welche gerade bei diesemBeispiel leicht aufzustellen ist, gibt Euler nicht an. Dagegen be-merkt er, daß jede Gleichung zwischen x, y und p, die in x und yhomogen ist, eine derartige Integration in Parameterdarstellung ge-stattet. Durch die Substitution y = ux wird nämlich die Gleichungauf eine solche zwischen u und p reduziert; die beiden Gleichungen

ergeben

woraus

dy — udx + xdu und dy = pdxpdx — udx = xdu,

folgt. Da sich aber p durch u ausdrückt, so ist damit x als Funk-tion von u und wegen y = ux auch y als Funktion von u gefunden.Hier sei auch noch eine Gleichung behandelt, auf welche Lagrange 2 ) beiGelegenheit der Untersuchung der Evolvente einer ebenen Kurve stößt:

dx 1

dx~

dy

dx

Er ersetzt das Argument von qp durch p und erhält mittels der Sub-stitution -J 1 = z die Gleichungendx °

(1 -f- z*)zdxX — — ,

dz

= p und

(1 + z*)dx , N

y + = ?Cp)-

*) Institutiones calculi integralis, vol. I, p. 514. *) Oeuvres de Lagrange,

t. IV, p. 594ff.