Totale und partielle Differentialgleichungen.
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sei das „allgemeine“ Integral einer Differentialgleichung, diese selbstsei gesucht. Monge zeigt, daß die auf normalem Weg, also durchwiederholte Differentiation und Elimination der IntegrationskonstantenA, B, .. . entstehende Differentialgleichung in bezug auf den höchstendarin auftretenden Differentialquotienten immer vom ersten Grad istund erläutert diese Ausführungen au dem Beispiel
Ax s + Bxy -f Cif = 1,
das nacheinander die Gleichungen
2Axdx -+- Bixdy + ydx) -f- 2Cydy = 0;
2Adx a + B(xd a y + 2dxdy) + 2C{dy a + yd a y) = 0; usw.
liefert. 1 ) Aus dem Umstand, daß derartige Elimination der Integra-tionskonstanten stets auf Gleichungen 1. Grades führt, folgert Monge,daß Differentialgleichungen nur daun in bezug auf die höchste darinvorkommende Derivierte von höherem Grade sein können, wenn diezugehörige Integralgleichung nicht alle ihre willkürlichen Konstantenin der 1. Potenz enthält, und man wird auch, wenn man die G, B,...als Funktionen vou neuen Konstanten a, b, ... ansieht, bei Elimina-tion der a, b, . . . auf Gleichungen höheren Grades stoßen; das Gleichefindet statt, wenn zwischen den A, B, . . . irgendwelche Relationenbestehen; darauf gründet er nun seine Integrationsmethode für Glei-chungen höheren Grades: man ersetze letztere durch die zugehörigeDifferentialgleichung ersten Grades und höherer Ordnung, integriereund entferne die dabei auftretenden überzähligen Konstanten durchSubstitution des Integrals in die ursprüngliche Differentialgleichung.Als Beispiel gibt Monge die Gleichung 2 )
%^-x*) + 2xy^ + a a - l f = 0.
Durch Differentiation folgt unmittelbar
(a 2 — £ 3 )§f. ddy + xyddy = 0.
Diese Gleichung ist in bezug auf den 2. Differentialquotienten vom1. Grad; ddy = 0 gibt = A. Setzt man diesen Wert in die ur-sprüngliche Gleichung ein, so erhält man ohne weiteres
l ) Dasselbe A'erfahren auf die weitaus einfachere GleichungA x -f- B y -f- Cxy = 1
angewandt hätte Monge auf die Schwarzsehe Abgeleitete geführt.
*; Histoire de l’Academie des Sciences 1783 '1786), p. 725.