Totale und partielle Differentialgleichungen.
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das Potential V eines beliebigen Körpers auf einen außerhalb ge-legenen Punkt mit den Polarkoordinaten r, & und w gehorcht, istvon Laplace 1782 1 ) angegeben; dieser setzt für V in der Gleichung
. (dcrV\
wo cos ff = ji, eine Reihenentwicklung mit fallenden Potenzen von rund bestimmt die Entwicklungskoeffizienten dieser Reihe. 1787 end-lich gibt er auch die Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten
dx- ^ dy ! ^ dz 1 ’
die nach ihm benannt ist. 2 ) Letztere Gleichung tritt zwar schonfrüher in der Dynamik inkorapressibler Flüssigkeiten bei Lagrange 3 )auf, aber nur nebenbei, zufällig, weil sie eben der Natur des behan-delten Problems nach notwendig auftreten muß; bei Laplace hin-gegen bildet die Bestimmung der Eigenschaften der Funktion V denKernpunkt der Untersuchung, die Differentialgleichung ist bei ihmmit voller Einsicht ihrer Bedeutung in den Vordergrund gerückt.Den direkten Anlaß zu Laplaces Arbeit gab das Problem der Attrak-tion der Sphäroide und das Problem der Erdfigur, mit dem sich auchLegendre beschäftigt hat 4 ). Die Untersuchungen auf diesem für dieAstronomie bedeutungsvollen Gebiet führten zur Benutzung wichtigerReihenentwicklungen und zur Verwendung der Kugelfunktionen 5 )(s. o. S. 792); insbesondere die Gleichgewichtsfigur einer rotierendenFlüssigkeitsmasse, deren Teilchen sich nach dem New ton sehen Gesetzanziehen, war schon früher besonders von Clairaut in seiner Figurede la terre behandelt. Es waren also Mechanik, Hydrodynamik undAstronomie in gleicher Weise, welche auf die Einführung des Poten-tialbegriffes hinwiesen. Auf die Untersuchungen über den Fall, daßder Punkt g, ff, co innerhalb der anziehenden Masse liegt, auf dasAuftreten des logarithmischen Potentials und ähnliche Fragen kannhier nicht eiugegangen werden.
Die allgemeinen hydrodynamischen Gleichungen versucht La-grange zu integrieren (vgl. S. 1024); es sind indessen begreiflicher-weise nur speziellere Probleme, die zu brauchbaren interessanten Er-
*) Histoire de l’Academie des Sciences 1782 (1785), p. 135. Dieser Aufsatzhandelt von der Anziehung der Sphäroide und der Figur der Planeten. Manvgl. hierzu auch: ebenda, 1783 '1786), p. 25. *) Ebenda 1787 (1789), p. 252
in einer Abhandlung über die Saturnringe. *) Miscellanea Taurinensia, t. H s ,1760 61, p. 273. Vgl. auch oben S. 914. 4 i Vgl. Histoire de l'Academie desSciences 1784 f 1787), p. 370ff. Ebenda 1789 (1793), p. 372 ff. 6 ) Ebenda 1785(1788), p. 6411’.