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Abschnitt XXVII.

gebnissen geführt haben. Um von der Art der untersuchten Problemeeine Vorstellung zu gewinnen, seien einige Beispiele aufgeführt, Eulerbehandelt das Problem der Fortpflanzung von Wellen, die von einemStörungszentrum ausgehen, sowohl für die Ebene, wie für den Kaum;diese Aufgabe führt auf die Gleichung

1 /dds\ n (ds\ . (dds\

2 gh [ dt 1 ) = V WT7 + [d VV ’

wo V den Radius einer Welle bedeutet, und zwar ist n beim ebenenProblem gleich 3, beim entsprechenden räumlichen Problem gleich 4zu setzen. Die Fortpflanzung von Wellen an der Oberfläche einesKanals von konstanter Tiefe behandelt Laplace 1778 1 ) unter derVoraussetzung, daß die Breite des Kanals nicht in Betracht kommt.Seien X, Z die Koordinaten eines Flüssigkeitsteilchens zur Zeit t = 0,X + ax, Z + uz die Koordinaten desselben Teilchens zur Zeit t(« eine sehr kleine Größe), ö die Dichtigkeit, p der Druck, g dasGewicht des Teilchens, so findet Laplace:

0 - gi ■ (Z + «*) + X • ("f) + «SZ ■ (?£■) + ii ;

d bedeutet dabei eine Differentiation, bei der t als konstant behandeltwird. Die letztere Gleichung kann nur bestehen, wenn auch ihr2. und 3. Glied zusammen ein vollständiges Differential in bezug aufX und Z bilden. Aus der Bedingung hierfür erhält man durchzweimalige Integration nach t die Gleichung

(dx\ _ (dz\Xö'/.) ~ \d~x)

und durch Kombination mit

(«) + (Ä)

die beiden folgenden:

* = <p{x+z/(-i)} +*{x-zVJ=T)}

und

* = - v (- 1 ) ■ { cp [X + ZV(P Ti] + V [x - ZV(- 1)]} ,

dabei muß <p(X ) = — ^(X) sein, da für Z = 0, d. h. am Boden desKanals, e überall und beständig Null ist. Mit Hilfe dieser beidenGleichungen lassen sich z und x für alle Punkte der Flüssigkeit be-

*) Histoire de l’Acadömie des Sciences 1776 (1779), p. 541 ff. Das Folgendenach Burkhardt a, a. 0.