Totale und partielle Differentialgleichungen.

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stimmen, sobald man ihre Werte an der Oberfläche kennt. Sei fürdiese Z= l + au, wo u eine beliebige Funktion von X ist, so erhältman unter Vernachlässigung höherer Potenzen von a:

(du\ (dz\ i (ddx\

\dx) + ' / (ax) +g \ dt-) ’

Laplace begnügt sich mit der Angabe eines partikulären Integralsdieser Gleichung. Lagrange beschäftigt sich nach sorgfältigen Lite-raturstudien mit der Untersuchung der Wellenbewegung an der Ober-fläche eines beinahe horizontalen Gewässers von sehr geringer Tiefe 1 !und kommt zu dem Resultat, daß sie den Gesetzen der Schallfort-pflanzung in einer ebenen Luftschicht gehorcht. Das wichtigste hier-her gehörige Problem ist aber das der schwingenden Saiten und über-haupt der musikalischen Instrumente. Abgesehen von der physikali-schen Bedeutung dieses Problems hat seine Behandlung nach denverschiedensten Richtungen hin fördernd und fruchtbringend auf dieMathematik eingewirkt. Der ganze Streit über die Art der in denwillkürlichen Funktionen einer Integralgleichung zulässigen Unstetig-keiten, die intensive Beschäftigung mit den partiellen Differential-gleichungen 2. Ordnung, die schließlich notwendig zu einer Theoriedieser Gleichungen führen mußte, wurde durch die genannte Aufgabeveranlaßt. Eben dieselbe führte — und das war, wenn man auchdas Geleistete nicht zu erkennen vermochte, immerhin ein bedeutenderSchritt — unbewußt zur Darstellung einer Funktion nach Vielfachenvon sinus und Cosinus 2 ); die Physik verdankt diesem Problem dieErfindung des Prinzips der Superposition der Wellen durch D. Ber-noulli 3 ) und des Begriffs der Freiheitsgrade eines Systems, von demEuler bei Untersuchung einer nicht in einer Ebene, sondern räum-lich schwingenden Saite Gebrauch macht. 1 ) Um die in Frage kom-menden, für die Probleme der bezeichneten Art charakteristischen Dif-ferentialgleichungen der Bewegung bzw. deren Integral zu finden,stehen zwei Wege offen; der eine geht von den Bewegungsgleichungeneiner kompressiblen Flüssigkeit aus, der andere bildet zunächst dasGleichungssystem, das die Schwingungen einer endlichen Anzahl vonMassenpunkten darstellt, integriert sie und sucht dann durch Grenz-übergang das für einen kontinuierlichen Komplex von Punkten gel-

’) Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 74G (Berliner Memoiren für 1781).

*) Vgl. diese Yorl., IIP, S. 905 ff. *) Histoire de. l'Aeademie de Berlin 1753(1755), p. 187, 189. Vgl. Journal des s 9 avans 1758, p. 158. 4 ) Novi Com-

mentarii Academiae Petropolitanae, t. XIX, 1774 (1775), p. 340ff. Das Problemder Schwingungen einer Saite mit Berücksichtigung ihres Gewichts: Acta Aca-demiae Petropolitanae 1781 (1784), pars I, p. 178 ff.