Totale und partielle Differentialgleichungen.
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Abhandlung von Lagrange über Natur und Fortpflanzung des SchallsBerücksichtigung finden; des gleichen Verfassers Aufsatz über Hydro-dynamik in den Berliner Memoiren von 1781 mußte dagegen über-gangen werden, da er inhaltlich wie auch äußerlich den ausgesprochenenCharakter einer Untersuchung auf dem Gebiet der theoretischen Physikbesitzt; die darin auftretenden Gleichungen sind meistens zu speziellund die zu ihrer Lösung benutzten Kunstgriffe bei allem Scharfsinnzu wenig allgemein, als daß sie die Aufstellung rein mathematischerTheorien hätten zur Folge haben können.
Was die Integration der partiellen Differentialgleichungen betriff't,so erkannte man bald, daß das Vorkommen gerade der partiellen Dif-ferentialquotienten in einer Gleichung auf die Integralgleichung keinenanderen Einfluß ausübt, als daß in diese willkürliche Funktionen ein-gehen, so daß also das eigentliche Integrationsgeschäft keinerlei Ope-rationen erfordert, die von den bei gewöhnlichen Differentialgleichungennotwendigen prinzipiell verschieden wären. Das Problem der Inte-gration partieller Differentialgleichungen läßt sich demnach in zweivoneinander unabhängige Aufgaben trennen, einmal in die Aufdeckungder Art und Weise, wie die willkürlichen Funktionen in das Integraleintreten, sodann aber in die Forderung, alle durch die ursprünglicheGleichung definierten eigentlichen Integrationen für sich allein, d. i.durch Gleichungen darzustellen, deren Lösung keine willkürlichenFunktionen mehr in sich birgt; das sind eben totale Gleichungen.
Deshalb begnügen sich auch die Mathematiker, sofern es sichnicht um spezielle Gleichungen handelt, meistens damit, die partiellenDifferentialgleichungen auf totale zurückzuführen und den Zusammen-hang zwischen den Integralgleichungen der partiellen und totalenGleichungen anzugeben. Diese Reduktion wird wiederholt als dasGrundprinzip der Integration partieller Differentialgleichungen an-gesprochen; Laplace sagt 1 ) klar und deutlich: je regarde une equa-tion aux differences partielles comine integree, lorsqu’elle est rameneeä l’integration d’une equation aux differences ordinaires. Wegen einerähnlichen Stelle bei Lagrange vergleiche man S. 972.
Diese Reduktion auf totale Gleichungen hat am konsequen-testen Monge in einer großen Abhandlung in den Pariser Memoiren von1784 durchgeführt. 2 ) Er findet für die verschiedensten partiellenGleichungen die entsprechenden totalen dadurch, daß er die partiellenDifferentialquotienten mit Hilfe der Gleichungen, welche diese mitden totalen Differentialen verbinden, so weit als möglich eliminiert
') Histoire de l’Academie des Sciences 1773 (1777), p. 344. 1 gl. auch die
Histoire desselben Jahres, p. 44. 2 ) Ebenda 1784 (1787), p. 118—192.
Cantor, (icachichte der Mathematik IV. 61