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Abschnitt XXVII.

und die so erhaltenen Schlußgleichungen derart zerfällt, daß sie un-abhängig von darin noch auftretenden partiellen Derivierten Geltunghaben. Sei z. B. die lineare Gleichung 1. Ordnung

Mp -f- Xq + L = 0

zu integrieren, wo M, X, L gegebene Funktionen von x, y und z rp und q die partiellen Differentialquotienten von z nach x bzw. ysind. 1 ) Diese Gleichung stellt, wie Monge sagt, lediglich eine Be-ziehung zwischen p und q dar, aus welcher allein, d. h. ohne dasHinzukommen einer weiteren Gleichung, p und q nicht jedes für sichberechnet werden können. Eliminiert man also p hzw. q mit Hilfeder immer bestehenden Gleichung

dz = pdx + qdy,

Mdz -4 Ldx = q(Mdy — Xdx)Xdz + Ldy = p(Mdy — Ndx );

so ergibt sich

und

damit das aber nicht zwei Bestimmungsgleichungen für q und p sind,,müssen nach Monge die drei Gleichungen

Mdz -f Ldx = 0; Mdy — Xdx = 0; Ndz -j- Ldy = 0

gleichzeitig bestehen, die indes nur zwei voneinander unabhängigeGleichungen darstellen. Genau denselben Gedankengang verwendetMonge zur Behandlung aller anderen partiellen Gleichungen, wie wirin den einzelnen Fällen an Ort und Stelle sehen werden; hier sei nurmitgeteilt, wie Monge den Zusammenhang zwischen den Integralender partiellen und der totalen Gleichungen herstellt. Er betrachtetes nämlich als wesentlich, daß, wenn wir das eben erwähnte Beispielbeibehalten, von den beiden totalen Schlußgleichungen nicht jede ein-zelne für sich, sondern beide zusammen statthaben, und kommt so-dann durch eigentümliche Deutung des Wortes simultan zum Integral(integrale complete) der gegebenen partiellen Gleichung. Er erklärt denBegriff simultan folgendermaßen: Sind V=a und U=b die vollständigenIntegrale des der partiellen Gleichung äquivalenten Systems, so müssen,,wenn beide gleichzeitig bestehen sollen, nicht F und U jedes einzelnkonstant sein, sondern es muß U konstant sein, solange V es ist und um-gekehrt: ist hingegen das eine variabel, so ist es das andere auch, ou autre-ment...elies sont fonctions Tune de l'autre, sans rien statuer d’ailleurs surla forme de cette fouction. (Vgl. o. S. 530 und 561.) Man kanndieser glücklichen Dialektik, durch welche Monge die GleichungV = <p(U) plausibel macht, nicht die Bewunderung versagen, wobei zu

‘) Histoire de l'Academie des Sciences 1784 ' 1787 ), p. 121 .