Totale und partielle Differentialgleichungen.
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bedenken ist, daß das Resultat, weil längst bekannt, niemanden in Er-staunen setzte und deshalb auch einige Nachsicht bezüglich seiner Her-leitung erwarten konnte. Verständlicher wird dieser ganze Gedanken-gang, wenn man berücksichtigt, daß Monge die Bildung des Integralsder partiellen Gleichung aus den Integralen der totalen Gleichungenals die „Operation inverse“ zur Elimination der willkürlichen Funktionaus einer gegebenen Integralgleichung angesehen haben will. Umdiese Elimination möglichst einfach zu gestalten, verwandelt er z. B.die Gleichung V = cp(U) mittels der Substitution U = a in die beidenGleichungen
U = a-, V — (p{a) - b,
die zu gleicher Zeit statthaben müssen und zwar in der Art, daß dieeine die notwendige Folge der andern ist, Aus dU=0 und c/r=0erhält er
© dx + © = 0
und
woraus durch Elimination „der unbestimmten Größe“ ^ die partielleGleichung folgt:
C3
Statt zu eliminieren, kann, wie Monge noch erwähnt, dieselbe
Schlußgleichung durch Elimination einer Unbestimmten cd aus zweianderen Gleichungen hervorgehen; letztere stellen dann ebenfalls einder Schlußgleichung äquivalentes System dar. Den hier entwickeltenProzeß faßt daun Monge in folgende Regel zusammen: Man setze dastotale Differential des Arguments der in der Integralgleichung auf-tretenden willkürlichen Funktion gleich Null, differentiiere sodann dieIntegralgleichung selbst derart total, daß dabei die willkürlicheFunktion als Konstante behandelt wird und eliminiere endlich ausden beiden so erhaltenen Gleichungen, sowie der Integralgleichung
die willkürliche Funktion ^, so erhält man die zur gegebenen Integral-gleichung gehörige Differentialgleichung für den Fall, daß auch nochdie Differentialquotienten der willkürlichen Funktion in der Integral-gleichung auftreten, ist wenigstens hiugewiesen. Nun ist dieseMethode, aus dem Integral auf die Differentialgleichung zu schließen,in einem anderen Aufsatz 1 ) desselben Bandes der Pariser Memoirenbereits ausführlich auseinandergesetzt und an Beispielen erläutert;
') Histoire de TAeademie des Sciences 1784 (1787), p. 85 ff.
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