Totale und partielle Differentialgleichungen.

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geometrische Überlegung und Rehandlungsweise in den Yordergnmdgerückt, ist geometrische Versinnlichung das Ziel der Untersuchung;Monge konstruiert nämlich genau wie früher nichts als Flächen, diedurch eine gegebene Raumkurve hindurchgeben und eine gegebeneIntegralgleichung erfüllen; bei Besprechung von einzelnen Beispielenwird er dann zu dem erwähnten Satz geführt; er schreibt 1 ) dieDifferentialgleichung in der Form

m'] z + = 0 ,

dx dy 7

deutet hierbei durch die Symbole d, c, d die verschiedenen Differen-tiationen an (vgl. S. 885) und erwähnt, daß sich statt des Integralsz = (jp(F) auch z = <p (V 4- 4>z) schreiben läßt. Nachdem er den Satzauch analytisch bewiesen hat, weist er zum besseren Verständnis nochauf die Gleichungen

di/dz — adxcz = 0; dydz — dxdz=0 ; dydz—Zdx(Z = 0

hin, wo Z eine Funktion von z ist; diese Gleichungen haben bzw.die Integrale

z = (f {ax + ;/); z = cp(zx + ?/); z = <p {Zx + ;//),

so daß also die Variabein z und Z auf dieselbe Weise in das Integraleintreten wie die Konstante a.

Das allgemeine Prinzip der Behandlung partieller Differential-gleichungen, wie Laplace, Lagrange und Monge es üben, d i. ein-fach die Reduktion auf totale Gleichungen, unbekümmert darum, obdiese integrabel sind oder nicht, hat Trembley mißverstanden; erbetont nämlich — was nichts Neues ist —, daß die zwei totalenGleichungen, auf welche Lagrange die lineare partielle Differential-gleichung 1. Ordnung zurückgeführt hat, ebenso schwierig zu inte-grieren sind als die ursprüngliche Gleichung, und geht deshalb un-mittelbar auf die partielle Gleichung selbst ein. An diese Unter-suchung knüpft sich eine ganze Reihe anderer Aufsätze, die alledieselbe Methode in ungeheuren Rechnungen durchführen; wir werdenbei Gelegenheit der Gleichung 2. Ordnung darauf zurückkommen.

Auch Cousin zieht die direkte Behandlung der partiellen Differen-tialgleichung der Diskussion der gleichwertigen totalen Gleichungen vor;ja während die zeitgenössischen Mathematiker froh sind, die partiellenGleichungen auf totale reduzieren zu können, verwandelt er geradeumgekehrt gewöhnliche Differentialgleichungen in partielle; er undnach ihm Trembley suchen integrable Fälle, die sich in vorgegebener

') Memoires presentes par divers Savans 1773 (1776), p. 283 corollaire II.