Totale und partielle Differentialgleichungen.

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lasse sich in der Form

B + F(K) = 0

darstellen, wo B und K Funktionen von x, y und z sind. Cousinleitet aus dem Integral durch partielle Differentiation nach x bzw. y,wobei z als Funktion von x und y zu gelten hat, und Eliminationvon F’ eine Gleichung her, von der er verlangt, daß sie bis auf einenFaktor ip mit der gegebenen Differentialgleichung übereinstimme.Auf diese Weise ergibt sich

dKdB dB dK , dB dK dKdB

dz dy dz dy dz dx dz dx

dKdB dKdBdx dy dy dx

Durch Elimination von tl> folgen endlich die Gleichungen:

dB /dK

(dB d B\ d B A\dx ' Z dy) dz \

dB ldK

d K /d B

dy \dx

dy \dx

Cousin nimmt nun spezielle Formen für B und K an, um inte-grable Fälle aufzufinden; so setzt er

B = mz + n und K = Mz + N,

wo m, n, M, N Funktionen von x und y allein sind. Ist wieder

y = uz 2 + ßz + y,

so folgen bei Substitution dieser speziellen Werte in (F) durchNullsetzen der Koeffizienten von z und z 2 Relationen zwischen m, n,M und N, aus deren einer die Gleichung

= M ■ (p j(x)

m =

gefolgert werden kann. Interessant ist nun, daß Cousin eine eigeneBezeichnung für die Funktionaldeterminante einführt, indem er 1 )

dm dM

dm dM

analoge Symbole an Stelle ähnlicher

dy dx dx dy

Ausdrücke schreibt. Damit geht die Gleichung (zj) mit Berücksich-tigung von m = Af • <pi(x ) in

— yJ\F-(f'i{x) = mJlz 2 + (»; N + nM) z + nN

l ) Histoire de l'Academie des Sciences 1778 (1781), p. 449.