954

Abschnitt XXVII.

über; es soll aber

<< = ciz 2 + ßz + y

sein. Durch geschickte Kombination der verschiedenen allmählichaufgestellten Relationen und Integration erhält Cousin die Größenm, n, M, N in ziemlich verwickelter Form ausgedrückt durch a, ß, y,sowie durch vier willkürliche Funktionen (pj(x)- <p n ix)-, fi(xj ; fn(x)-,da aber diese Größen teilweise unter Integralzeichen auf'treten, müssennoch gewisse Integrabilitätsbedingungen erfüllt sein, welche die prak-tische Anwendung der ohnehin komplizierten Cousinsehen Formelnerschweren. Im folgenden 1 ) geht Cousin zu Gleichungen höhererOrdnung über; für die Gleichung

+ a Z 2 -f ßZ + y = 0,

wo Z einen Diff'erentialquotienten beliebiger Ordnung von y nach xbedeutet, und die a, ß, y Funktionen von x, y, z und sämtlichen Ab-leitungen von z bis Z sind, versucht er ein erstes Integral von der Form

(mZ+ n) + F(MZ + F) = 0.

Endlich 2 ) nimmt er

B = mz n-, K= Mz 71 + AV 1-1 + • ■ •,

was auf ganz ungeheure Ausdrücke führt. Iu einer späteren Abhand-lung 3 ), die vor der früheren größere Übersichtlichkeit voraus hat,kommt er auf diese Untersuchungen zurück; er erwähnt, daß mandie beiden vollständigen ersten Integrale einer totalen Differential-gleichung 2. Ordnung erhält, indem man in dem Integral der zu-gehörigen partiellen Gleichung einmal die willkürliche Funktion selbst,das andere Mal ihr Argument gleich einer Konstanten setzt. Istwieder B -f- F(K) = 0 das Integral von

dzd x

+ *

dz

•iy

~F n = 0,

so ergeben sich genau wie früher die Gleichungen (D) und (zl).Cousin nimmt jetzt allgemeiner

u i I m - I "'s I

B = m ■ z + wq + y + -~i + • • •

und

K = Mz + M 1 +

') Histoire de l’Acadämie des Sciences 1778 (1781;, p. 452. Die im Textangeführte Gleichung p. 408. *) Ebenda, p. 469. *) Ebenda 1783 (1786),

p. 649 ff.