Totale und partielle Differentialgleichungen.

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es erst sehr spät zu einer eigentlichen Theorie der Gleichungen 1. Ord-nung, und alles, was auf diesem Gebiet vor Lagrange geleistetwurde, verdankt weniger planmäßiger Überlegung als Kunstgriffenund geistreichen Versuchen sein Entstehen. So wird begreiflich, wasim ersten Augenblick wundernehmen muß, daß lange Zeit dieGleichung 1. Ordnung nicht mehr Fortschritte machte als die Glei-chungen höheren Grades: man integrierte eben, was man integrierenkonnte, und da lagen einfache Gleichungen höheren Grades oft vielnäher als komplizierte 1. Ordnung; allerdings sind die derart ge-fundenen integrablen Typen meist wenig allgemein. Als erste Ab-handlung haben wir einen Aufsatz von Euler zu nennen 1 ); die Frage-stellung ist etwas kompliziert und die partielle Gleichung tritt nurnebenbei verschleiert auf. So stellt Euler die Aufgabe

Pdx + Qdy

zu einem totalen Differential d V zu machen, wenn gleichzeitig dieRelation

l’x i- Qi/= 0

besteht; zur Lösung der Aufgabe schreibt er

d V = Pdx + Qdy = Py ■ un( j erkennt daraus, daß V und

* J J yy ’

Pu Funktionen von S — — sein müssen. 2 ) Ziemlich nebenbei, im

y ’

Corollar I 3 ) tritt der eigentliche Charakter der Aufgabe deutlicher

hervor; es ist nämlich darauf hingewiesen, daß

ist. In einer Menge von Einzelbeispielen behandelt Euler sodanndie allgemeinere Aufgabe, V aus

dV = Pdx + Qdy

zu bestimmen, wenn P und Q durch eine beliebige Nebenbedingung,wie z. ß.

PP + QQ = xx + yy , 4 )

verbunden sind. Der wichtigste Fall ist aber der, daß Q eine Funktionvon P allein ist. 5 ) Ist

*) Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. IX, 1762'63 (1761),p. 170 ff. *) Diese Schlußweise ist durchaus nicht neu; vgl. Cantor III 8 ,

S. 901. *) Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. IX, 1762 63 (1764),

p. 176. 4 ) Ebenda, p. 196. s ) Ebenda, p. 192.