958

Abschnitt XXVII.

dQ = PdP,

so muß, wie Euler findet,

x + liy = II

sein, wo II irgend eine Funktion von P bedeutet, und es wird

V=Px + Qy — JlldP.

Auch Relationen zwischen F, P und Q nimmt Euler an, so

P = n Vj V = m Px + nQy,

endlich verlangt er, daß V eine beliebige Funktion von P und Qallein sei. 1 ) Es ist leicht, die zugehörigen Differentialgleichungen,auf die diese Aufgaben im Grunde genommen hinauslaufen, anzugeben,wenn man nur bedenkt, daß P und Q eigentlich partielle Differential-quotienten sind; nur die Fassung der Aufgaben ist für uns ein wenigfremdartig: Euler faßt, wenn wir den Unterschied noch einmal aus-einandersetzen sollen,

dV = Pdx + Qdy

als Ausgangsgleichung und die partielle Gleichung als Nebenbedingung,während wir gerade umgekehrt letztere als Hauptproblem, erstereals Hilfsgleichung ansehen.

Wenig systematischer und übersichtlicher sind die Bemerkungend’Alemberts über die lineare partielle Differentialgleichung; wieEuler benützt er zur eigentlichen Integration totale Gleichungen. DieGleichung

■? 9 + Ä , dq + Cq = 0,

dx dz 1 ’

wo A und C Konstante sind, verwandelt er 2 ) mittels der Substitutionq = f“ in

+ C = 0

d. i., wenngesetzt wird,Da aber

da = adx + ß dzu + Aß + C = 0.adx -f ßdzßdz — Cdx — Aßdx

mit anderen Worten

ein totales Differential, nämlich da, sein soll, muß

*) Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. IX, 1762/63 ^1764), bzw.p. 199, 203, 209. *) Opuscules mathematiques, t. IV (1768), p. 236.